учи меня для олимпиаде, олимпиада через 3 или 4 дня

Коротко: за 3–4 дня выучить всю алгебру нельзя, но можно закрыть 3–4 «рабочие» темы, которые в 10 классе дают больше всего олимпиадных задач. Ниже план, по которому реально успеть.

План по дням

День 1. Неравенства (самая частая тема)

• AM–GM: \(\dfrac{a_1+\dots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\) для \(a_i>0\).
• Неравенство Коши–Буняковского: \((a_1b_1+\dots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+\dots+b_n^2)\).
• Главный принцип: после применения неравенства проверь, достижимо ли равенство. Если равенство не достигается ни при каких допустимых значениях — оценка «грубая», и решения нет.

День 2. Многочлены

• Теорема Виета для \(x^2+px+q\): \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\) (и общая формула для степени \(n\)).
• Теорема Безу: остаток от деления \(P(x)\) на \((x-a)\) равен \(P(a)\); отсюда — поиск целых корней среди делителей свободного члена.
• Симметричные многочлены: замена \(u=x+y\), \(v=xy\) понижает степень.

День 3. Теория чисел

• Делимость: если \(a\mid b\) и \(a\mid c\), то \(a\mid (b\pm c)\) и \(a\mid kb\).
• Сравнения по модулю: \(a\equiv b \pmod m\) — можно складывать, умножать, возводить в степень.
• Идея «остатков»: часто задача сводится к перебору остатков по mod 2, 3, 4, 9.

День 4 (если он есть). Функциональные уравнения и последовательности

• Стандартные подстановки: \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\); проверка на чётность/нечётность.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии, метод телескопа.

Как тренироваться, чтобы был толк

1. 5–8 задач в день, а не 30. Лучше 6 разобранных до конца.
2. Записывай идею решения одной строкой («свелось к AM–GM после замены \(x=1/t\)»), а не только ответ — на олимпиаде ты вспоминаешь идеи, а не ответы.
3. Веди список «провалов»: 3–5 задач, которые не вышли. В последний день перерешай только их.
4. На олимпиаде: сначала прочитай все задачи и бери те, где виден первый шаг. Не застревай больше 20 минут на одной.

Проверка результата: после каждого решения подставь крайние значения (нули, единицы, большие числа) — это ловит большинство ошибок в неравенствах и тождествах.

Чтобы начать предметно, скажи: какая это олимпиада и какие темы вы уже прошли — подберу задачи ровно под твой уровень.