Тест по предмету «Геометрия» на тему «свойства медиан, биссектрис, срединных перпендикуляров тряугольника, теоремы синусов и косинусов и задачи»

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В каком отношении эта точка делит каждую медиану, считая от вершины треугольника? A) 1 : 2
B) 2 : 1
C) 3 : 1
D) 1 : 1

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные: A) двум сторонам, прилежащим к этому углу
B) высотам, проведённым из концов этой стороны
C) медианам треугольника
D) синусам углов при основании

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром: A) вписанной в треугольник окружности
B) описанной около треугольника окружности
C) окружности, касающейся одной стороны треугольника
D) окружности с диаметром, равным медиане

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна: A) гипотенузе
B) половине гипотенузы
C) половине катета
D) сумме катетов

Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны: A) косинусам противолежащих углов
B) синусам противолежащих углов
C) синусам прилежащих углов
D) высотам треугольника

Для треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углом \(C\) между сторонами \(a\) и \(b\) теорема косинусов записывается так: A) \(c^2=a^2+b^2+2ab\cos C\)
B) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
C) \(c=a+b-2ab\cos C\)
D) \(c^2=a^2-b^2+2ab\sin C\)

В треугольнике \(ABC\) известно: \(AB=8\), \(AC=6\), \(\angle A=30^\circ\). Найдите площадь треугольника. A) 12
B) 24
C) \(12\sqrt{3}\)
D) \(24\sqrt{3}\)

В треугольнике \(ABC\) известно: \(AB=7\), \(AC=10\), \(\angle A=60^\circ\). Найдите \(BC\). A) \(\sqrt{79}\)
B) \(\sqrt{109}\)
C) \(\sqrt{149}\)
D) 13

В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\), причём \(BD=6\), \(DC=9\), \(AB=8\). Найдите \(AC\). A) 10
B) 12
C) 14
D) 15

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) стороны \(AB=BC=13\), \(AC=10\). Медиана \(BM\) проведена к основанию. Найдите \(BM\). A) 5
B) 12
C) \(\sqrt{194}\)
D) 24

В треугольнике стороны равны 5, 7 и 8. Найдите косинус угла, противолежащего стороне 8. A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{1}{7}\)
C) \(\frac{2}{7}\)
D) \(\frac{3}{7}\)

В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC=6\sqrt{2}\), \(\angle A=45^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. A) 3
B) 6
C) \(6\sqrt{2}\)
D) 12

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром: A) описанной окружности
B) вписанной окружности
C) окружности, проходящей через середины сторон
D) окружности, касающейся всех высот

В треугольнике \(ABC\) известно: \(AB=10\), \(AC=15\), \(BC=20\). \(AD\) — биссектриса угла \(A\). Найдите \(BD\). A) 6
B) 8
C) 10
D) 12

Точка \(P\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AB\). \(AB=24\), \(PA=13\). Найдите расстояние от точки \(P\) до прямой \(AB\). A) 5
B) 12
C) \(\sqrt{313}\)
D) 24