реши задачу
На фото 7 задач — кратко по номерам.
Не все. Число кусков меняется на чётное число: \(+4\), \(+8\), \(-6\). Оно всегда нечётно, а \(2026\) — чётно.
Нельзя. \(a+b\) и \(a-b\) имеют одинаковую чётность, поэтому чётность суммы всех чисел сохраняется. Было \(1+\dots+101=5151\) — нечётно, а сумма всех нулей чётна.
Минус. Кодируем \(+\) как \(+1\), \(-\) как \(-1\); новый знак — произведение. Произведение не меняется: \((+1)^{2024}(-1)^{2025}=-1\).
Нельзя. В левом верхнем квадрате \(2\times2\) одна чёрная клетка. При перекрашивании строки или столбца в любом квадрате \(2\times2\) меняются \(0\) или \(2\) клетки, значит чётность числа чёрных в нём сохраняется. У полностью белой доски она равна \(0\), противоречие.
Нельзя. Раскрасим 6 секторов через один: \(3\) чёрных и \(3\) белых. Каждый ход две фишки меняют цвет, поэтому число фишек на чёрных секторах меняется на чётное, а его чётность сохраняется. В конце было бы \(0\) или \(6\) — чётно.
Чётное. Диагональный ход сохраняет цвет клетки, ортогональный — меняет. В замкнутом маршруте число меняющих цвет ходов чётно; всего ходов \(64\), значит диагональных \(64-\text{чётное}\) — чётно.
(а) Можно. Любые две клетки можно перекрасить, не затронув остальные: пройти по пути и перекрашивать каждую соседнюю пару — внутренние клетки перекрасятся дважды. Белых клеток \(40\), их можно разбить на пары.
(б) Нельзя. Чётность числа чёрных клеток не меняется: было \(41\) — нечётно, а у белой доски \(0\).
