реши 1 задачу
Краткий ответ: нашли не все кусочки, потому что общее число кусков стенгазеты в любой момент должно быть нечётным, а 2020 — чётное число.
Почему так:
Пусть \(N\) — число кусков стенгазеты. В начале \(N=1\) — нечётное.
Каждая операция меняет \(N\) так:
- Петя рвёт 1 кусок на 5 частей:
\(N\) увеличивается на \(5-1=4\); - Вася рвёт 1 кусок на 9 частей:
\(N\) увеличивается на \(9-1=8\); - Маша склеивает 7 кусков в 1:
\(N\) уменьшается на \(7-1=6\).
Все изменения — чётные: \(+4\), \(+8\), \(-6\). Значит, чётность числа \(N\) не меняется.
Начали с нечётного \(N=1\), поэтому в любой момент число кусков нечётно.
Если бы нашли все кусочки, то их было бы 2020 — чётное число. Это невозможно.
Вывод: 2020 найденных обрывков не могут быть всеми кусочками, значит, хотя бы один кусочек потерян.
Обсуждение
8 сообщенийРеши 2 задачу
Пришли, пожалуйста, условие задачи 2 — в переписке есть только первая задача, а текста второй нет.
Реши 2 и 3
Задача 2
Ответ: нельзя.
Доказательство. Рассмотрим сумму всех чисел на доске. Изначально \[ S=1+2+\ldots+101=\frac{101\cdot 102}{2}=5151 \] — нечётное число.
Если стереть числа \(a\) и \(b\) и написать вместо них разность \(a-b\), то новая сумма равна \[ S'=S-a-b+(a-b)=S-2b. \] То есть сумма меняется на чётное число, значит, её чётность сохраняется. Если бы написали \(b-a\), было бы \(S-2a\) — тоже чётное изменение. Если под «разностью» понимать \(|a-b|\), то \[ S'=S-a-b+|a-b|=S-2\min(a,b), \] и чётность снова сохраняется.
Итак, сумма всегда остаётся нечётной. А если бы на доске остались только нули, сумма была бы равна \(0\) — чётному числу. Противоречие. Значит, добиться этого нельзя.
Задача 3
Ответ: останется минус.
Доказательство. Сопоставим знакам числа: плюс — это \(+1\), минус — это \(-1\). Тогда правило
- одинаковые знаки \(\to\) плюс,
- разные знаки \(\to\) минус
— это в точности умножение: \(+1\cdot(+1)=+1\), \((-1)\cdot(-1)=+1\), \((+1)\cdot(-1)=-1\).
При такой операции произведение всех чисел на доске не меняется. Исходно было \(2024\) плюса и \(2025\) минусов, поэтому произведение равно \[ (+1)^{2024}\cdot(-1)^{2025}=1\cdot(-1)=-1. \] Значит, и последний оставшийся знак должен давать произведение \(-1\), то есть это минус.
Можешь написать решение 2 легче
Да, вот попроще — следим только за чётностью суммы всех чисел.
Сначала на доске числа \(1,2,\dots,101\). Их сумма: \[ 1+2+\dots+101=5151 \] — нечётная.
Пусть стёрли два числа \(a\) и \(b\), а написали \(a-b\).
Сумма изменилась на \[ (a-b)-(a+b)=-2b \] — на чётное число.
Значит, чётность суммы не меняется: была нечётной — останется нечётной.Если бы все числа стали нулями, сумма была бы равна \(0\) — чётная.
Но это невозможно, потому что сумма всё время должна оставаться нечётной.
Ответ: нельзя.
Можешь написать решение 3 легче
Да. Самый простой способ — следить только за количеством минусов.
Смотри, как операция меняет число минусов:
- \(++\to +\): было \(0\) минусов, стало \(0\);
- \(+-\to -\): был \(1\) минус, остался \(1\);
- \(--\to +\): было \(2\) минуса, стало \(0\).
То есть чётность числа минусов не меняется: чётное число минусов остаётся чётным, нечётное — нечётным.
Сначала на доске \(2025\) минусов — это нечётное число. Значит, в конце число минусов тоже должно быть нечётным.
А в конце остаётся только один знак. Если бы это был плюс, то минусов было бы \(0\) — чётное число. Значит, остаться должен минус.
Ответ: останется минус.
