реши легко 4 и 5 задание
4) Нельзя.
Пусть \(r_i\) — чётность перекрашиваний \(i\)-й строки, \(c_j\) — \(j\)-го столбца.
Для угловых клеток нужно \(r_i+c_j\equiv 1\pmod 2\), для остальных — \(r_i+c_j\equiv 0\).
Из клеток \((1,2),(2,2),(2,1)\): \(c_2=r_1,\ r_2=c_2,\ c_1=r_2\), значит \(c_1=r_1\). Но для угла \((1,1)\): \(r_1+c_1=1\), то есть \(2r_1=1\) — невозможно.
5) Нельзя.
Нумеруем секторы \(0,1,\dots,5\). Сумма номеров всех фишек mod \(2\) не меняется: за ход две фишки меняют номер на \(\pm1\), сумма меняется на чётное число.
Вначале сумма \(0+1+\dots+5=15\) — нечётная. Если все 6 фишек в одном секторе \(k\), сумма равна \(6k\) — чётная. Противоречие.
Обсуждение
2 сообщенияРеши понятнее и легче 4 и 5 задание
4) Нельзя
Смотрим на любой квадрат \(2\times2\).
Когда перекрашивают целую строку или столбец, в этом квадрате цвет меняется у \(0\) или у \(2\) клеток. Значит чётность числа чёрных клеток в любом \(2\times2\) не меняется.
Если сначала все клетки белые, то в верхнем левом квадрате \(2\times2\) чёрных клеток \(0\) — чётное число.
А в нужной картинке в этом квадрате стоят:
- один угол,
- три «неугловые» клетки.
Значит там будет либо \(1\), либо \(3\) чёрные клетки — нечётное число. Противоречие.
Ответ: получить такую раскраску нельзя.
5) Нельзя
Нумеруем секторы \(0,1,2,3,4,5\).
Считаем сумму номеров всех фишек.
За один ход двигаются две фишки. Каждая сдвигается в соседний сектор, значит её номер меняется на нечётное число. Две фишки вместе дают чётное изменение суммы, поэтому чётность суммы не меняется.
Сначала фишки стоят во всех секторах: \[ 0+1+2+3+4+5=15 \] Это нечётная сумма.
Если все 6 фишек собрать в одном секторе \(k\), то сумма будет \[ 6k \] то есть чётная.
Нечётная сумма не может стать чётной. Противоречие.
Ответ: собрать все фишки в одном секторе нельзя.
