привет
Привет! Здесь основная тема — учёба: помогу разобраться с заданием или объяснить тему. А пообщаться с людьми можно в комьюнити Новой Школы:
Присылай задание — разберём.
Обсуждение
2 сообщенияПомоги с домашним заданием по математике и объясни легко
На фото задания 165–167. Разберём по порядку.
165. Наименьшее значение функции и аргумент
Главная идея: модуль и корень не могут быть отрицательными, а у отрицательной дроби всё наоборот — чем меньше знаменатель, тем меньше значение.
| Пункт | Функция | Наименьшее значение | При каком \(x\) |
|---|---|---|---|
| а | \(y=|x+7|-2\) | \(-2\) | \(x=-7\) |
| б | \(y=-\dfrac{3}{9+|3x-9|}\) | \(-\dfrac13\) | \(x=3\) |
| в | \(y=\sqrt{x-2}-1\) | \(-1\) | \(x=2\) |
| г | \(y=-\dfrac{2}{|4x+8|}\) | нет | — |
Почему:
а) \(|x+7|\ge 0\), значит минимальное значение выражения — \(0\). Тогда
\[
y_{\min}=0-2=-2,
\]
это при \(x+7=0\), то есть \(x=-7\).
б) Знаменатель \(9+|3x-9|\ge 9\). Поэтому дробь
\[
\frac{3}{9+|3x-9|}\le \frac13.
\]
Перед дробью стоит минус, значит:
\[
y\ge -\frac13.
\]
Равенство при \(3x-9=0\), то есть \(x=3\).
в) Корень \(\sqrt{x-2}\ge 0\), минимум при \(x-2=0\), то есть \(x=2\): \[ y_{\min}=0-1=-1. \]
г) У этой функции нет наименьшего значения: когда \(x\) приближается к \(-2\), знаменатель становится очень маленьким, а значение уходит в \(-\infty\).
При этом \(x=-2\) не входит в область определения.
166. График \(y=|x-5|-1\)
График — «галочка» \(y=|x|\), сдвинутая:
- вправо на \(5\),
- вниз на \(1\).
Вершина: \[ (5;\ -1). \]
Полезные точки:
\[ x=4 \Rightarrow y=0, \] \[ x=5 \Rightarrow y=-1, \] \[ x=6 \Rightarrow y=0, \] \[ x=0 \Rightarrow y=4. \]
То есть график проходит через точки \((4;0)\), \((5;-1)\), \((6;0)\), а слева пересекает ось \(y\) в точке \((0;4)\).
Наименьшее значение функции: \[ y_{\min}=-1 \] при \(x=5\).
167. Доказать, что \(y=\frac1x\), где \(x<0\), не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения
Рассматриваем только отрицательные \(x\). Тогда \(y=\frac1x\) тоже отрицательно.
Почему нет наименьшего значения
Возьмём любое \(x<0\). Можно взять \(x_1=\frac{x}{2}\) — это тоже отрицательное число, но ближе к нулю.
Тогда \[ \frac1{x_1}=\frac{1}{x/2}=\frac2x. \] Так как \(x<0\), то \[ \frac2x<\frac1x. \] То есть для любого значения функции можно найти ещё меньшее. Значит, наименьшего значения нет.
Почему нет наибольшего значения
Возьмём \(x_2=2x\). Это отрицательное число, но дальше от нуля.
Тогда \[ \frac1{x_2}=\frac1{2x}. \] Так как \(x<0\), то \[ \frac1{2x}>\frac1x. \] То есть для любого значения можно найти ещё большее. Значит, наибольшего значения нет.
Можно сказать короче: при \(x<0\) функция \(y=\frac1x\) принимает все отрицательные значения, а у открытого промежутка \((-\infty;0)\) нет ни самого маленького, ни самого большого числа.
Если нужно, могу отдельно показать, как аккуратно нарисовать график к номеру 166 на клетчатой бумаге.
