Доказать тождество (a+b+c)+(bc+ca+ab)-(abc)=(b+c) (c+a)(a+b)

Скорее всего, в записи потеряны знаки умножения. Верное тождество имеет вид:

\[ (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a). \]

Если же понимать условие буквально с плюсами, то равенство неверно: например, при \(a=1,b=2,c=3\) слева \(11\), а справа \(60\).

Доказательство

Раскроем левую часть:

\[ (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc. \]

Сначала:

\[ (a+b+c)(ab+bc+ca)= a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+3abc. \]

Тогда

\[ (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc= a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc. \]

Теперь раскроем правую часть:

\[ (a+b)(b+c)(c+a). \]

Получаем:

\[ (a+b)(b+c)(c+a)= a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc. \]

Обе части совпали, значит тождество доказано.

Проверка

Пусть \(a=1,\ b=2,\ c=3\). Тогда

\[ (1+2+3)(6+3+2)-1\cdot2\cdot3 =6\cdot11-6=60, \]

\[ (2+3)(3+1)(1+2)=5\cdot4\cdot3=60. \]

Всё верно.