Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас…
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Краткий ответ: скорость лодки в неподвижной воде — \(18\) км/ч.
Как решать
Пусть \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
Скорость течения \(3\) км/ч, значит:
- по течению лодка идёт со скоростью \(v+3\);
- против течения — со скоростью \(v-3\).
Плот движется со скоростью течения, то есть \(3\) км/ч.
К тому моменту, когда лодка вернулась в А, плот проплыл \(51\) км. Значит, плот плыл:
\[ 51:3=17 \text{ ч} \]
Лодка вышла на \(1\) час позже, поэтому была в пути:
\[ 17-1=16 \text{ ч} \]
Лодка прошла \(140\) км туда и \(140\) км обратно, поэтому:
\[ \frac{140}{v+3}+\frac{140}{v-3}=16 \]
Решаем уравнение:
\[ \frac{140(v-3)+140(v+3)}{v^2-9}=16 \]
\[ \frac{280v}{v^2-9}=16 \]
\[ 280v=16v^2-144 \]
\[ 2v^2-35v-18=0 \]
\[ D=35^2-4\cdot2\cdot(-18)=1369=37^2 \]
\[ v=\frac{35+37}{4}=18 \]
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи.
Проверка
Лодка по течению:
\[ \frac{140}{18+3}=\frac{140}{21}=\frac{20}{3}\text{ ч} \]
Лодка против течения:
\[ \frac{140}{18-3}=\frac{140}{15}=\frac{28}{3}\text{ ч} \]
Всего:
\[ \frac{20}{3}+\frac{28}{3}=16\text{ ч} \]
Плот за \(17\) часов проплывёт:
\[ 3\cdot17=51\text{ км} \]
Всё сходится.
Ответ: \(18\) км/ч.
Обсуждение
6 сообщенийкак мы поняли что плот проплыл 3 часа
Мы не говорили, что плот плыл \(3\) часа. Наоборот:
- \(51\) км — расстояние, которое проплыл плот;
- \(3\) км/ч — скорость течения, с которой движется плот;
- время плота:
\[ t=\frac{S}{v}=\frac{51}{3}=17\text{ ч} \]
То есть плот плыл 17 часов.
А лодка вышла на \(1\) час позже, поэтому была в пути:
\[ 17-1=16\text{ ч} \]
Именно это время \(16\) часов мы и подставляем в уравнение для лодки:
\[ \frac{140}{v+3}+\frac{140}{v-3}=16 \]
Коротко:
3 — это скорость плота (км/ч), а не время. Время плота — 17 часов.
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ: \(18\) км/ч.
Пусть \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
Плот движется со скоростью течения, то есть \(3\) км/ч. К моменту возвращения лодки он проплыл \(51\) км, значит:
\[ t_{\text{плота}}=\frac{51}{3}=17\text{ ч} \]
Лодка вышла на \(1\) час позже, поэтому была в пути:
\[ 17-1=16\text{ ч} \]
Лодка прошла \(140\) км по течению и \(140\) км против течения:
\[ \frac{140}{v+3}+\frac{140}{v-3}=16 \]
Решаем:
\[ \frac{280v}{v^2-9}=16 \]
\[ 280v=16v^2-144 \]
\[ 2v^2-35v-18=0 \]
\[ D=35^2-4\cdot2\cdot(-18)=1369=37^2 \]
\[ v=\frac{35+37}{4}=18 \]
Отрицательный корень не подходит.
Скорость лодки в неподвижной воде — \(18\) км/ч.
Это та же задача, что мы уже разбирали. Ответ: \(18\) км/ч.
Решение
Пусть \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
- Плот движется со скоростью течения: \(3\) км/ч.
- К моменту возвращения лодки плот проплыл \(51\) км, значит, он плыл:
\[ \frac{51}{3}=17\text{ ч} \]
- Лодка вышла на \(1\) час позже, поэтому была в пути:
\[ 17-1=16\text{ ч} \]
- По течению лодка шла со скоростью \(v+3\), против течения — со скоростью \(v-3\). Всего она прошла \(140\) км туда и \(140\) км обратно:
\[ \frac{140}{v+3}+\frac{140}{v-3}=16 \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{140(v-3)+140(v+3)}{(v+3)(v-3)}=16 \]
\[ \frac{280v}{v^2-9}=16 \]
\[ 280v=16v^2-144 \]
\[ 2v^2-35v-18=0 \]
\[ D=35^2-4\cdot2\cdot(-18)=1369=37^2 \]
\[ v=\frac{35+37}{4}=18 \]
Отрицательный корень не подходит.
Проверка:
\[ \frac{140}{21}+\frac{140}{15}=\frac{20}{3}+\frac{28}{3}=16\text{ ч} \]
Всё верно.
Ответ: \(18\) км/ч.
