Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).

Как рассуждать:

Уравнение имеет вид

\[ x^2-5x+6=0. \]

Можно разложить левую часть на множители. Нужно найти два числа, которые:

• в сумме дают \(5\),
• в произведении дают \(6\).

Это числа \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\) и \(2\cdot3=6\). Значит:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Тогда:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]

поэтому

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка:

При \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]

При \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) ищут два числа, дающие в сумме \(-b\), а в произведении \(c\). Если такие числа \(m\) и \(n\) найдены, то уравнение записывается как \((x-m)(x-n)=0\), и корни равны \(m\) и \(n\).