Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите…
Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Ответ: 80 км/ч.
Пусть скорость второго автомобиля — \(x\) км/ч.
Тогда скорость первого — \(x+20\) км/ч.
Оба проезжают \(480\) км, поэтому:
\[ t_2=\frac{480}{x}, \qquad t_1=\frac{480}{x+20} \]
Первый прибывает на 2 часа раньше, значит:
\[ \frac{480}{x}-\frac{480}{x+20}=2 \]
Упростим:
\[ 480\cdot \frac{(x+20)-x}{x(x+20)}=2 \]
\[ \frac{9600}{x(x+20)}=2 \]
\[ x(x+20)=4800 \]
\[ x^2+20x-4800=0 \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ D=20^2+4\cdot 4800=19600,\qquad \sqrt D=140 \]
\[ x=\frac{-20+140}{2}=60 \]
Значит, скорость второго автомобиля \(60\) км/ч, а первого:
\[ 60+20=80 \text{ км/ч} \]
Проверка:
Второй едет \(480:60=8\) ч, первый — \(480:80=6\) ч.
Разница — \(8-6=2\) ч. Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщенияа можно было в уравнении к времени второму прибавить два?
Да, но важно, к какому времени прибавлять.
Первый автомобиль едет быстрее и приезжает раньше, значит:
\[ t_2=t_1+2 \]
То есть ко времени первого прибавляем 2 часа и получаем время второго:
\[ \frac{480}{x}=\frac{480}{x+20}+2 \]
Это то же самое, что в прошлом решении:
\[ \frac{480}{x}-\frac{480}{x+20}=2 \]
А вот уравнение \(t_2+2=t_1\) было бы неверным: второй автомобиль медленнее, поэтому он не может тратить меньше времени.
Если под «прибавить два ко времени второго» ты имел в виду \(t_2=t_1+2\), то да, так можно — всё сходится.
а так можно?
Судя по фото, у тебя записано
\[ \frac{480}{x}-\frac{480}{x-20}=2. \]
Вот здесь как раз ошибка: так нельзя. Второй автомобиль медленнее, поэтому он едет дольше. Значит, из времени второго надо вычитать время первого:
\[ \frac{480}{x-20}-\frac{480}{x}=2. \]
Если записать наоборот, слева получится отрицательное число — знак неверный.
Ещё и ответ \(104\) км/ч не подходит. Проверим: при скоростях \(104\) и \(84\) км/ч времена равны
\[ \frac{480}{104}\approx4{,}6\text{ ч},\qquad \frac{480}{84}\approx5{,}7\text{ ч}, \]
разница около \(1{,}1\) ч, а не \(2\) ч.
Правильное решение:
\[ \frac{480}{x-20}-\frac{480}{x}=2 \]
\[ 480x-480(x-20)=2x(x-20) \]
\[ 9600=2x^2-40x \]
\[ x^2-20x-4800=0 \]
\[ (x-80)(x+60)=0 \]
\[ x=80. \]
Ответ: \(80\) км/ч.
То есть сам приём «\(x\) — скорость первого, \(x-20\) — скорость второго» рабочий, но в уравнении важно, кого времени больше: время второго больше на \(2\) часа.
