Реши 97 подробно
Краткий ответ: треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам.
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\). По условию: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Доказательство
- Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\):
- \(AO=OC\) по условию;
- \(BO=OD\) по условию;
- \(\angle AOB=\angle COD\), так как они вертикальные.
Значит, треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, соответственные стороны равны:
\[
AB=CD.
\]
- Теперь рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(DOA\):
- \(BO=OD\);
- \(OC=OA\);
- \(\angle BOC=\angle DOA\) как вертикальные.
Поэтому треугольники \(BOC\) и \(DOA\) равны по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда:
\[
BC=DA.
\]
- Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\):
- \(AB=CD\) — доказано;
- \(BC=DA\) — доказано;
- \(AC\) — общая сторона.
Значит, треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам: \[ \triangle ABC=\triangle CDA. \]
Что здесь важно понять
Если две пересекающиеся прямые делят друг друга пополам, то их концы можно соединить так, что получатся равные треугольники. Основной приём — сначала доказать равенство маленьких треугольников при точке пересечения, а затем использовать уже полученные равенства сторон для больших треугольников.
Обсуждение
2 сообщенияДано и рисунок сделай
Для задачи из предыдущего решения:
Дано:
\(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\),
\[
AO=OC,\qquad BO=OD.
\]
Доказать:
\[
\triangle ABC=\triangle CDA.
\]
Рисунок:
A────────────B
│\ /│
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ O │
│ / \ │
│ / \ │
│ / \ │
│ / \ │
D────────────C
\(O\) — точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\).
Рисунок схематический: прямые углы и равенство диагоналей не предполагаются.
