номер 221 б
Ответ: наибольшее целое \(u=2\).
Решим неравенство:
\[ \frac{(3u+2)(u-1)}{2}-\frac{(2u-1)(2u+1)}{4}<1 \]
Сначала раскроем скобки:
\[ (3u+2)(u-1)=3u^2-u-2 \]
\[ (2u-1)(2u+1)=4u^2-1 \]
Получаем:
\[ \frac{3u^2-u-2}{2}-\frac{4u^2-1}{4}<1 \]
Умножим обе части на \(4>0\), знак неравенства не изменится:
\[ 2(3u^2-u-2)-(4u^2-1)<4 \]
\[ 6u^2-2u-4-4u^2+1<4 \]
\[ 2u^2-2u-3<4 \]
\[ 2u^2-2u-7<0 \]
Разделим на 2:
\[ u^2-u-\frac72<0 \]
Найдём корни:
\[ u_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+14}}{2} =\frac{1\pm\sqrt{15}}{2} \]
То есть
\[ \frac{1-\sqrt{15}}{2}<u<\frac{1+\sqrt{15}}{2} \]
Приближённо:
\[ -1{,}44<u<2{,}44 \]
Целые значения: \(-1,0,1,2\). Наибольшее из них — 2.
Проверка для \(u=2\):
\[ \frac{(3\cdot2+2)(2-1)}{2}-\frac{(2\cdot2-1)(2\cdot2+1)}{4} =4-3{,}75=0{,}25<1 \]
А для \(u=3\) уже:
\[ 11-8{,}75=2{,}25>1 \]
Значит, ответ действительно \(2\).
Обсуждение
8 сообщенийТы можешь написать, что ты сначала раскрываешь скобки, потом нажмёшь на 4. А потом пожалуйста поподробнее как ты раскрываешь когда умножаешь на 4 прям каждое действие не так что ты уже все поменял как по последовательности а так как вот просто решил
Да, конечно. Под «нажмёшь на 4» понимаю «умножишь обе части на 4». Распишу по порядку, без пропусков.
Исходное неравенство:
\[ \frac{(3u+2)(u-1)}{2}-\frac{(2u-1)(2u+1)}{4}<1 \]
1. Сначала раскрываем скобки в числителях
Первый числитель:
\[ (3u+2)(u-1)=3u\cdot u+3u\cdot(-1)+2\cdot u+2\cdot(-1) \]
\[ =3u^2-3u+2u-2 \]
\[ =3u^2-u-2 \]
Второй числитель:
\[ (2u-1)(2u+1)=2u\cdot2u+2u\cdot1-1\cdot2u-1\cdot1 \]
\[ =4u^2+2u-2u-1 \]
\[ =4u^2-1 \]
Подставляем обратно:
\[ \frac{3u^2-u-2}{2}-\frac{4u^2-1}{4}<1 \]
2. Теперь умножаем обе части на 4
\[ 4\cdot\left(\frac{3u^2-u-2}{2}-\frac{4u^2-1}{4}\right)<4\cdot1 \]
Раскрываем умножение на каждую дробь:
\[ 4\cdot\frac{3u^2-u-2}{2} - 4\cdot\frac{4u^2-1}{4} <4 \]
Теперь считаем коэффициенты:
\[ \frac{4}{2}=2 \]
поэтому первое слагаемое стало таким:
\[ 2(3u^2-u-2) \]
А второе:
\[ \frac{4}{4}=1 \]
поэтому второе слагаемое стало таким:
\[ (4u^2-1) \]
Получаем:
\[ 2(3u^2-u-2)-(4u^2-1)<4 \]
3. Раскрываем оставшиеся скобки
Сначала первую:
\[ 2(3u^2-u-2)=6u^2-2u-4 \]
Теперь вторую, где перед скобкой минус:
\[ -(4u^2-1)=-4u^2+1 \]
Подставляем:
\[ 6u^2-2u-4-4u^2+1<4 \]
Приводим подобные:
\[ 6u^2-4u^2=2u^2 \]
\[ -2u \]
\[ -4+1=-3 \]
Получаем:
\[ 2u^2-2u-3<4 \]
Переносим 4 влево:
\[ 2u^2-2u-3-4<0 \]
\[ 2u^2-2u-7<0 \]
Делим обе части на 2:
\[ u^2-u-\frac72<0 \]
4. Решаем квадратное неравенство
Находим корни:
\[ u^2-u-\frac72=0 \]
\[ D=1+14=15 \]
\[ u_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{15}}{2} \]
Приближённо:
\[ \sqrt{15}\approx3{,}87 \]
\[ \frac{1-\sqrt{15}}{2}\approx-1{,}44 \]
\[ \frac{1+\sqrt{15}}{2}\approx2{,}44 \]
Значит:
\[ -1{,}44<u<2{,}44 \]
Целые значения: \(-1,\ 0,\ 1,\ 2\).
Наибольшее из них:
\[ \boxed{2} \]
Ответ: наибольшее целое \(u=2\).
Номер 222 б реши пожалуйста
Пришли, пожалуйста, условие номера 222(б) — текстом или фото. Без него решать нельзя: в учебнике под этим номером может быть другое неравенство или пример.
Условие с фото:
\[ \frac{(3y+1)(y-2)}{6}-\frac{(y-1)^2}{3}<0{,}5 \]
Решим подробно, по шагам.
1. Раскрываем скобки
Первый числитель:
\[ (3y+1)(y-2)=3y^2-6y+y-2=3y^2-5y-2 \]
Второй числитель:
\[ (y-1)^2=y^2-2y+1 \]
Подставляем:
\[ \frac{3y^2-5y-2}{6}-\frac{y^2-2y+1}{3}<\frac12 \]
2. Умножаем обе части на 6
Так как \(6>0\), знак неравенства сохраняется:
\[ 6\cdot\frac{3y^2-5y-2}{6}-6\cdot\frac{y^2-2y+1}{3}<6\cdot\frac12 \]
Считаем коэффициенты:
\[ (3y^2-5y-2)-2(y^2-2y+1)<3 \]
3. Раскрываем оставшиеся скобки
\[ 3y^2-5y-2-2y^2+4y-2<3 \]
Приводим подобные:
\[ y^2-y-4<3 \]
Переносим 3 влево:
\[ y^2-y-7<0 \]
4. Решаем квадратное неравенство
Находим корни уравнения \(y^2-y-7=0\):
\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-7)=1+28=29 \]
\[ y_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{29}}{2} \]
Приближённо:
\[ \sqrt{29}\approx5{,}39 \]
\[ \frac{1-\sqrt{29}}{2}\approx-2{,}19 \]
\[ \frac{1+\sqrt{29}}{2}\approx3{,}19 \]
Неравенство \(y^2-y-7<0\) выполняется между корнями:
\[ -2{,}19<y<3{,}19 \]
Целые значения \(y\):
\[ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Наименьшее целое:
\[ \boxed{-2} \]
Проверка при \(y=-2\):
\[ \frac{(3\cdot(-2)+1)(-2-2)}{6}-\frac{(-2-1)^2}{3} =\frac{(-5)(-4)}{6}-\frac{9}{3} =\frac{20}{6}-3 =\frac{10}{3}-3 =\frac13<0{,}5 \]
При \(y=-3\):
\[ \frac{(-8)(-5)}{6}-\frac{16}{3} =\frac{40}{6}-\frac{16}{3} =\frac{20}{3}-\frac{16}{3} =\frac43>0{,}5 \]
Значит, \(y=-3\) уже не подходит.
Ответ: наименьшее целое \(y=-2\).
Номер 223 б, г
223(б)
\[ \frac{\sqrt{x^2+4x-12}}{x} \]
Выражение имеет смысл, если:
\[ x^2+4x-12\ge 0,\qquad x\ne 0. \]
Решим неравенство:
\[ x^2+4x-12=0 \]
\[ D=16+48=64,\quad \sqrt D=8 \]
\[ x_1=\frac{-4-8}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-4+8}{2}=2 \]
Ветви параболы направлены вверх, поэтому:
\[ x^2+4x-12\ge 0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;-6]\cup[2;+\infty). \]
Точка \(0\) в эти промежутки не входит, значит условие \(x\ne 0\) уже выполнено.
Ответ б): \[ x\in(-\infty;-6]\cup[2;+\infty). \]
223(г)
\[ \frac{\sqrt{2x^2-x+8}}{x^2-16} \]
Условия:
\[ 2x^2-x+8\ge 0,\qquad x^2-16\ne 0. \]
Рассмотрим подкоренное выражение:
\[ 2x^2-x+8. \]
Его дискриминант:
\[ D=(-1)^2-4\cdot2\cdot8=1-64=-63<0. \]
Так как \(D<0\), а коэффициент при \(x^2\) равен \(2>0\), то
\[ 2x^2-x+8>0 \]
при любом \(x\). Значит, корень определён всегда.
Остаётся знаменатель:
\[ x^2-16\ne 0 \]
\[ x\ne \pm 4. \]
Ответ г): \[ x\in(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty). \]
То есть выражение имеет смысл при всех \(x\), кроме \(x=-4\) и \(x=4\).
