Реши задание на изображении

Разберём первый пример из списка — № 28:

\[ \left(1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)\cdot \frac{b}{a-b}. \]

1. Сразу выписываем ограничения

На ноль делить нельзя, поэтому:

\[ b\ne 0, \]

и знаменатель второй дроби тоже не равен нулю:

\[ a-b\ne 0 \quad\Rightarrow\quad a\ne b. \]

То есть в ответе обязательно должно быть:

\[ b\ne0,\qquad a\ne b. \]

---

2. Упрощаем выражение в скобках

В скобках записано:

\[ 1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}. \]

Приведём всё к общему знаменателю \(b^2\):

\[ 1=\frac{b^2}{b^2}, \qquad \frac{2a}{b}=\frac{2ab}{b^2}. \]

Получаем:

\[ 1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2-2ab+a^2}{b^2}. \]

Числитель — это формула квадрата разности:

\[ b^2-2ab+a^2=(a-b)^2. \]

Значит,

\[ 1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2} = \frac{(a-b)^2}{b^2}. \]

Можно было заметить и короче:

\[ 1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2} = \left(1-\frac ab\right)^2 = \left(\frac{b-a}{b}\right)^2 = \frac{(a-b)^2}{b^2}. \]

Квадрат одинаковый, потому что \((b-a)^2=(a-b)^2\).

---

3. Умножаем на вторую дробь

Теперь исходное выражение равно:

\[ \frac{(a-b)^2}{b^2}\cdot\frac{b}{a-b}. \]

Запишем умножение одной дробью:

\[ \frac{(a-b)^2\cdot b}{b^2\cdot(a-b)}. \]

Сокращаем:

• \(b\) и \(b^2\) дают \(b\) в знаменателе;
• \((a-b)^2\) и \((a-b)\) дают \((a-b)\) в числителе.

Получаем:

\[ \frac{(a-b)^2\cdot b}{b^2(a-b)} = \frac{a-b}{b}. \]

---

4. Ответ

\[ \boxed{\frac{a-b}{b}} \]

при условиях:

\[ \boxed{b\ne0,\quad a\ne b.} \]

---

5. Проверка на числах

Возьмём \(a=2,\ b=3\). Тогда:

\[ 1-\frac{2\cdot2}{3}+\frac{2^2}{3^2} = 1-\frac43+\frac49 = \frac19. \]

Вторая дробь:

\[ \frac{b}{a-b}=\frac{3}{2-3}=-3. \]

Произведение:

\[ \frac19\cdot(-3)=-\frac13. \]

А по полученной формуле:

\[ \frac{a-b}{b}=\frac{2-3}{3}=-\frac13. \]

Совпало.

---

Главная идея примера

Нужно было:

1. увидеть в скобках формулу квадрата;
2. свернуть её в \(\dfrac{(a-b)^2}{b^2}\);
3. умножить на \(\dfrac{b}{a-b}\);
4. сократить одинаковые множители;
5. не забыть ограничения \(b\ne0\) и \(a\ne b\).

Частая ошибка — написать в числителе \(a^2-b^2\) вместо \((a-b)^2\). Это разные выражения.

Второй пример — это № 29:

\[ \left(2-\frac{x}{y}\right):\left(2+\frac{x}{y}\right). \]

1. Ограничения

Сначала выясним, какие значения нельзя подставлять.

1) В дробях есть знаменатель \(y\)

На ноль делить нельзя, поэтому:

\[ y\ne0. \]

2) На вторую скобку мы делим

Делитель не должен быть равен нулю:

\[ 2+\frac{x}{y}\ne0. \]

Решим это условие:

\[ 2+\frac{x}{y}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{y}=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-2y. \]

Значит, запрещено:

\[ x\ne -2y. \]

Итого:

\[ \boxed{y\ne0,\qquad x\ne-2y.} \]

---

2. Приводим первую скобку к общему знаменателю

\[ 2-\frac{x}{y}. \]

Представим \(2\) как \(\dfrac{2y}{y}\):

\[ 2-\frac{x}{y} = \frac{2y}{y}-\frac{x}{y} = \frac{2y-x}{y}. \]

---

3. Приводим вторую скобку к общему знаменателю

\[ 2+\frac{x}{y} = \frac{2y}{y}+\frac{x}{y} = \frac{2y+x}{y}. \]

---

4. Заменяем деление умножением

Получили:

\[ \frac{2y-x}{y}:\frac{2y+x}{y}. \]

Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

\[ \frac{2y-x}{y}\cdot\frac{y}{2y+x}. \]

Запишем одной дробью:

\[ \frac{(2y-x)\cdot y}{y\cdot(2y+x)}. \]

Множитель \(y\) в числителе и знаменателе сокращается:

\[ \frac{2y-x}{2y+x}. \]

---

5. Ответ

\[ \boxed{\frac{2y-x}{2y+x}} \]

при условиях:

\[ \boxed{y\ne0,\qquad x\ne-2y.} \]

---

6. Проверка на числах

Возьмём \(x=1,\ y=2\). Тогда исходное выражение:

\[ \left(2-\frac12\right):\left(2+\frac12\right) = \frac32:\frac52 = \frac32\cdot\frac25 = \frac35. \]

По полученной формуле:

\[ \frac{2y-x}{2y+x} = \frac{2\cdot2-1}{2\cdot2+1} = \frac{4-1}{4+1} = \frac35. \]

Совпало.

---

Главное в этом примере

1. Обе скобки привести к общему знаменателю \(y\).
2. Заменить деление умножением на обратную дробь.
3. Сократить \(y\).
4. Не забыть, что \(y\ne0\) и \(x\ne-2y\).

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2y-x}{2y+x}},\qquad y\ne0,\quad x\ne-2y. \]

Третий пример в списке — это №30:

\[ \left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right). \]

Разберём подробно.

---

1. Ограничения

В знаменателях есть \(x\) и \(y\), поэтому сразу:

\[ x\ne0,\qquad y\ne0. \]

Кроме того, на вторую скобку мы делим, значит она не должна быть равна нулю:

\[ \frac1y-\frac1x\ne0. \]

Приведём её к общему знаменателю:

\[ \frac1y-\frac1x=\frac{x-y}{xy}. \]

То есть

\[ \frac{x-y}{xy}\ne0. \]

Так как \(x\ne0\) и \(y\ne0\), числитель не должен быть нулём:

\[ x-y\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne y. \]

Итого:

\[ \boxed{x\ne0,\qquad y\ne0,\qquad x\ne y.} \]

---

2. Преобразуем первую скобку

\[ \frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}. \]

Общий знаменатель — \(xy^2\).

Первую дробь домножаем на \(x\):

\[ \frac{x}{y^2}=\frac{x^2}{xy^2}. \]

Вторую дробь домножаем на \(y^2\):

\[ \frac{1}{x}=\frac{y^2}{xy^2}. \]

Получаем:

\[ \frac{x}{y^2}-\frac{1}{x} = \frac{x^2}{xy^2}-\frac{y^2}{xy^2} = \frac{x^2-y^2}{xy^2}. \]

Применим формулу разности квадратов:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Значит,

\[ \frac{x}{y^2}-\frac{1}{x} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}. \]

---

3. Преобразуем вторую скобку

\[ \frac{1}{y}-\frac{1}{x}. \]

Общий знаменатель — \(xy\).

\[ \frac{1}{y}=\frac{x}{xy}, \qquad \frac{1}{x}=\frac{y}{xy}. \]

Тогда:

\[ \frac{1}{y}-\frac{1}{x} = \frac{x}{xy}-\frac{y}{xy} = \frac{x-y}{xy}. \]

---

4. Выполняем деление

Получили:

\[ \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}:\frac{x-y}{xy}. \]

Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь:

\[ \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x-y}. \]

Запишем одной дробью:

\[ \frac{(x-y)(x+y)\cdot xy}{xy^2\cdot(x-y)}. \]

Теперь сокращаем:

• сокращаем \(x-y\);
• сокращаем \(x\);
• \(y\) и \(y^2\) дают \(y\) в знаменателе.

Остаётся:

\[ \frac{x+y}{y}. \]

---

5. Ответ

\[ \boxed{\frac{x+y}{y}} \]

при условиях:

\[ \boxed{x\ne0,\quad y\ne0,\quad x\ne y.} \]

---

6. Проверка на числах

Возьмём \(x=2,\ y=3\). Тогда исходное выражение:

\[ \left(\frac{2}{9}-\frac12\right): \left(\frac13-\frac12\right). \]

Считаем:

\[ \frac{2}{9}-\frac12 = \frac{4}{18}-\frac{9}{18} = -\frac{5}{18}, \]

\[ \frac13-\frac12 = \frac26-\frac36 = -\frac16. \]

Тогда:

\[ -\frac{5}{18}:\left(-\frac16\right) = -\frac{5}{18}\cdot(-6) = \frac{5}{3}. \]

По формуле:

\[ \frac{x+y}{y}=\frac{2+3}{3}=\frac53. \]

Совпало.

---

Главное в этом примере

1. Каждую скобку привести к общему знаменателю.
2. В первой скобке использовать формулу \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
3. Деление заменить умножением на обратную дробь.
4. Сократить общие множители.
5. Не забыть ограничения: \[ x\ne0,\quad y\ne0,\quad x\ne y. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x+y}{y}},\qquad x\ne0,\quad y\ne0,\quad x\ne y. \]

Следующий — №31:

\[ \left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{2x}{y}+1\right)\cdot\frac{y}{y+x}. \]

1. Ограничения

В знаменателях есть \(y^2\), \(y\) и \(y+x\), поэтому:

\[ y\ne0, \]

а также

\[ y+x\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -y. \]

Значит:

\[ \boxed{y\ne0,\qquad x\ne -y.} \]

---

2. Упрощаем выражение в скобках

\[ \frac{x^2}{y^2}+\frac{2x}{y}+1. \]

Приведём всё к общему знаменателю \(y^2\):

\[ \frac{x^2}{y^2}+\frac{2xy}{y^2}+\frac{y^2}{y^2}. \]

Получаем:

\[ \frac{x^2+2xy+y^2}{y^2}. \]

В числителе стоит формула квадрата суммы:

\[ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2. \]

Значит,

\[ \frac{x^2}{y^2}+\frac{2x}{y}+1 = \frac{(x+y)^2}{y^2}. \]

Можно было заметить это и сразу:

\[ \frac{x^2}{y^2}+\frac{2x}{y}+1 = \left(\frac{x}{y}+1\right)^2. \]

---

3. Умножаем на вторую дробь

Теперь всё выражение равно:

\[ \frac{(x+y)^2}{y^2}\cdot\frac{y}{y+x}. \]

Так как \(y+x=x+y\), перепишем:

\[ \frac{(x+y)^2}{y^2}\cdot\frac{y}{x+y}. \]

Запишем одной дробью:

\[ \frac{(x+y)^2\cdot y}{y^2\cdot(x+y)}. \]

Сокращаем:

• \(x+y\) в числителе и знаменателе;
• \(y\) и \(y^2\) дают \(y\) в знаменателе.

Получаем:

\[ \frac{x+y}{y}. \]

---

4. Ответ

\[ \boxed{\frac{x+y}{y}} \]

при условиях:

\[ \boxed{y\ne0,\qquad x\ne -y.} \]

---

5. Проверка на числах

Возьмём \(x=2,\ y=3\). Тогда исходное выражение:

\[ \left(\frac{2^2}{3^2}+\frac{2\cdot2}{3}+1\right)\cdot\frac{3}{3+2}. \]

Считаем скобку:

\[ \frac49+\frac43+1 = \frac49+\frac{12}{9}+\frac99 = \frac{25}{9}. \]

Вторая дробь:

\[ \frac{3}{5}. \]

Произведение:

\[ \frac{25}{9}\cdot\frac35 = \frac{5}{3}. \]

По формуле:

\[ \frac{x+y}{y}=\frac{2+3}{3}=\frac53. \]

Совпало.

---

Главное в этом примере

1. В скобках привести дроби к знаменателю \(y^2\).
2. Заметить формулу: \[ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2. \]
3. Заменить \(y+x\) на \(x+y\).
4. Сократить \(x+y\) и \(y\).
5. Записать ограничения: \[ y\ne0,\qquad x\ne -y. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x+y}{y}},\qquad y\ne0,\quad x\ne -y. \]

Следующий по списку — № 32:

\[ \left(\frac{x^2-4}{9-y^2}:\frac{x-2}{3+y}\right)-\frac{2}{3-y}. \]

1. Ограничения

Сразу найдём значения, при которых выражение не имеет смысла.

1. Знаменатель \(9-y^2\):

\[ 9-y^2\ne0 \quad\Rightarrow\quad y\ne3,\quad y\ne-3. \]

2. Знаменатель \(3+y\):

\[ 3+y\ne0 \quad\Rightarrow\quad y\ne-3. \]

3. На дробь \(\dfrac{x-2}{3+y}\) делим, значит она не должна быть равна нулю:

\[ x-2\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne2. \]

4. Знаменатель \(3-y\):

\[ 3-y\ne0 \quad\Rightarrow\quad y\ne3. \]

Итого:

\[ \boxed{x\ne2,\qquad y\ne3,\qquad y\ne-3.} \]

---

2. Раскладываем на множители

Используем формулы разности квадратов:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]

\[ 9-y^2=(3-y)(3+y). \]

Поэтому первая дробь равна:

\[ \frac{x^2-4}{9-y^2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(3-y)(3+y)}. \]

---

3. Выполняем деление

Получили:

\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(3-y)(3+y)}:\frac{x-2}{3+y}. \]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(3-y)(3+y)} \cdot \frac{3+y}{x-2}. \]

Сокращаем \((x-2)\) и \((3+y)\):

\[ \frac{x+2}{3-y}. \]

---

4. Вычитаем вторую дробь

Теперь:

\[ \frac{x+2}{3-y}-\frac{2}{3-y}. \]

Знаменатели одинаковые, поэтому вычитаем числители:

\[ \frac{x+2-2}{3-y} = \frac{x}{3-y}. \]

---

5. Ответ

\[ \boxed{\frac{x}{3-y}} \]

при условиях:

\[ \boxed{x\ne2,\qquad y\ne3,\qquad y\ne-3.} \]

---

6. Проверка на числах

Возьмём \(x=1,\ y=1\). Тогда:

\[ \frac{x^2-4}{9-y^2} = \frac{1-4}{9-1} = -\frac38, \]

\[ \frac{x-2}{3+y} = \frac{1-2}{3+1} = -\frac14. \]

Деление:

\[ -\frac38:\left(-\frac14\right) = -\frac38\cdot(-4) = \frac32. \]

Вычитаем:

\[ \frac32-\frac{2}{3-1} = \frac32-1 = \frac12. \]

А по итоговой формуле:

\[ \frac{x}{3-y} = \frac{1}{3-1} = \frac12. \]

Совпало.

---

Что главное в этом примере

1. Разложить числитель и знаменатель по формулам разности квадратов: \[ x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad 9-y^2=(3-y)(3+y). \]
2. Заменить деление умножением на обратную дробь.
3. Сократить общие множители.
4. Привести дроби к общему знаменателю — здесь он уже одинаковый.
5. Выписать ограничения: \[ x\ne2,\quad y\ne3,\quad y\ne-3. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x}{3-y}},\qquad x\ne2,\quad y\ne3,\quad y\ne-3. \]

Отлично. Вот 6 примеров на ту же тему. Сначала попробуй решить сама, а в конце — ответы для самопроверки. Не забывай: ограничения выписываем до сокращения.

---

Тренировочные примеры

1. \[ \left(1+\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right):\left(1+\frac{a}{b}\right) \]

2. \[ \left(3-\frac{x}{y}\right):\left(3+\frac{x}{y}\right) \]

3. \[ \left(\frac{x^2}{y^2}-\frac{2x}{y}+1\right)\cdot\frac{y}{x-y} \]

4. \[ \left(\frac{a^2-9}{4-b^2}:\frac{a-3}{2+b}\right)-\frac{3}{2-b} \]

5. \[ \left(\frac{m^2}{n^2}-\frac{4m}{n}+4\right)\cdot\frac{n}{m-2n} \]

6. \[ \left(\frac{p^2-q^2}{pq}\right):\left(\frac1q-\frac1p\right) \]

---

Ответы для самопроверки

1. \[ \boxed{\frac{a+b}{b}},\qquad b\ne0,\quad a\ne -b \]

2. \[ \boxed{\frac{3y-x}{3y+x}},\qquad y\ne0,\quad 3y+x\ne0 \]

3. \[ \boxed{\frac{x-y}{y}},\qquad y\ne0,\quad x\ne y \]

4. \[ \boxed{\frac{a}{2-b}},\qquad a\ne3,\quad b\ne2,\quad b\ne-2 \]

5. \[ \boxed{\frac{m-2n}{n}},\qquad n\ne0,\quad m\ne2n \]

6. \[ \boxed{p+q},\qquad p\ne0,\quad q\ne0,\quad p\ne q \]

Если какой-то пример не сойдётся — напиши его номер, разберём по шагам.

Конечно. Вот новый комплект примеров на ту же тему. Попробуй решить сама, не подглядывая в ответы. Ограничения выписывай до сокращения.

---

Новые примеры

1. \[ \left(1-\frac{a}{b}\right):\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right) \]

2. \[ \left(2+\frac{x}{y}\right):\left(4-\frac{x^2}{y^2}\right) \]

3. \[ \left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot\frac{ab}{a^2-b^2} \]

4. \[ \left(\frac{m^2}{n^2}+\frac{2m}{n}+1\right):\left(\frac{m}{n}+1\right)^2 \]

5. \[ \left(\frac{x^2-1}{y^2-4}\cdot\frac{y-2}{x+1}\right)-\frac{1}{y+2} \]

6. \[ \left(\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a+b}{a-b}\right) \]

---

Ответы для самопроверки

1. \[ \boxed{\frac{b}{a+b}},\qquad b\ne0,\quad a\ne b,\quad a\ne -b \]

2. \[ \boxed{\frac{y}{2y-x}},\qquad y\ne0,\quad x\ne 2y,\quad x\ne -2y \]

3. \[ \boxed{1},\qquad a\ne0,\quad b\ne0,\quad a\ne b,\quad a\ne -b \]

4. \[ \boxed{1},\qquad n\ne0,\quad m\ne -n \]

5. \[ \boxed{\frac{x-2}{y+2}},\qquad x\ne -1,\quad y\ne2,\quad y\ne -2 \]

6. \[ \boxed{1},\qquad a\ne b,\quad a\ne -b \]

Если какой-то пример не сойдётся — пришли его номер и своё решение, проверим вместе.

У тебя, скорее всего, всё правильно:

\[ \frac{b}{b+a}=\frac{b}{a+b}, \]

потому что от перестановки слагаемых сумма не меняется:

\[ b+a=a+b. \]

Проверим пример 1:

\[ \left(1-\frac ab\right):\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right) = \frac{b-a}{b}:\frac{b^2-a^2}{b^2}. \]

Заменяем деление умножением:

\[ \frac{b-a}{b}\cdot\frac{b^2}{b^2-a^2}. \]

Теперь

\[ b^2-a^2=(b-a)(b+a), \]

поэтому:

\[ \frac{(b-a)\cdot b^2}{b\cdot(b-a)(b+a)} = \frac{b}{b+a}. \]

И это то же самое, что

\[ \boxed{\frac{b}{a+b}}. \]

Так что твой ответ \(\boxed{\frac{b}{b+a}}\) верный.

Только не забудь ограничения:

\[ \boxed{b\ne0,\qquad a\ne b,\qquad a\ne -b.} \]

Если же ты имела в виду не дробь \(\frac{b}{b+a}\), а запись \(\frac bb+a\), то это уже другое выражение: \(\frac bb+a=1+a\), и тогда ответ был бы неверным. Но если у тебя дробь \(\frac{b}{b+a}\), всё в порядке.

В 4-м примере ответ должен быть 1, а не \(\frac{m+n}{n}\).

Скорее всего, ошибка в сокращении. Смотри:

\[ \frac{m^2}{n^2}+\frac{2m}{n}+1 = \frac{m^2+2mn+n^2}{n^2} = \frac{(m+n)^2}{n^2}. \]

Теперь вторая скобка:

\[ \left(\frac mn+1\right)^2 = \left(\frac{m+n}{n}\right)^2 = \frac{(m+n)^2}{n^2}. \]

Получается, что мы делим выражение на такое же выражение:

\[ \frac{(m+n)^2}{n^2}:\frac{(m+n)^2}{n^2}=1. \]

Поэтому:

\[ \boxed{1} \]

при условиях

\[ n\ne0,\qquad m\ne -n. \]

Если ты получила \(\frac{m+n}{n}\), то, видимо, где-то не возвела вторую скобку в квадрат или сократила только часть выражения.

Проверим на числах: пусть \(m=2,\ n=3\). Тогда исходное выражение равно

\[ \left(\frac49+\frac43+1\right):\left(\frac23+1\right)^2 = \frac{25}{9}:\frac{25}{9}=1. \]

А \(\frac{m+n}{n}=\frac53\), то есть не совпадает.