реши 5.4, 5.7, 5.9

Кратко

5.4. Область значений:

1. \(f(x)=x^2+3\): \(\;[3;+\infty)\)
2. \(f(x)=6-\sqrt{x}\): \(\;(-\infty;6]\)
3. \(f(x)=(\sqrt{x})^2\): \(\;[0;+\infty)\)

5.7. Нули функции:

1. \(y=|x|+x\): \(\;x\le 0\), то есть \((-\infty;0]\)
2. \(y=\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x}-2}\): \(\;x=3\)
3. \(y=[x]\): \(\;x\in[0;1)\)
4. \(y=xD(x)\): \(\;x=0\) или \(x\) иррационально

5.9 на фото не видно — страница заканчивается на номере 5.8. Пришлите, пожалуйста, фото или текст задания 5.9.

5.4 — как находить область значений

1. \(x^2\ge 0\), поэтому
   \[ x^2+3\ge 3. \] Минимум \(3\) достигается при \(x=0\), сверху значения не ограничены.
   Ответ: \([3;+\infty)\).

2. Корень \(\sqrt{x}\ge 0\), значит
   \[ 6-\sqrt{x}\le 6. \] При \(x=0\) получаем \(6\), а при больших \(x\) значение уходит в \(-\infty\).
   Ответ: \((-\infty;6]\).

3. Здесь важно: \((\sqrt{x})^2=x\), но только при \(x\ge 0\), потому что раньше должен существовать \(\sqrt{x}\).
   Ответ: \([0;+\infty)\).

5.7 — как искать нули функции

Нуль функции — это решение уравнения \(y=0\). Сначала всегда учитываем область определения.

1. \[ |x|+x=0. \] Если \(x\ge 0\), то \(|x|=x\), получаем \(2x=0\), то есть \(x=0\).
   Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), тогда \(-x+x=0\) — подходит любое \(x<0\).
   Ответ: \(x\le 0\).

2. \[ \frac{x^2-9}{\sqrt{x}-2}=0. \] Область определения: \(x\ge 0\), \(\sqrt{x}\ne 2\), то есть \(x\ne 4\).
   Числитель равен нулю при \(x=\pm3\). Но \(x=-3\) не входит в область определения.
   Ответ: \(x=3\).

3. \([x]\) — целая часть числа.
   \[ [x]=0 \iff 0\le x<1. \] Ответ: \([0;1)\).

4. Для функции Дирихле \(D(x)\):
   \(D(x)=1\), если \(x\) рационально, и \(D(x)=0\), если \(x\) иррационально.
   Произведение \(xD(x)=0\), если \(x=0\) или \(D(x)=0\), то есть \(x\) иррационально.
   Ответ: число \(0\) и все иррациональные числа.