Реши задание на изображении
Все равенства — при допустимых значениях переменных, то есть при тех, где исходные знаменатели не равны нулю.
Краткий ответ
40. \[ \text{а) }-\frac ab;\quad \text{б) }-\frac{5}{x^2};\quad \text{в) }\frac{3(a-b)}{b(12-a)};\quad \text{г) }-\frac13; \] \[ \text{д) }-\frac{a+5}{3};\quad \text{е) }-\frac{3}{x-1};\quad \text{ж) }\frac{8(a+b)}{b-a};\quad \text{з) }b-2. \]
41. \[ \text{а) }\frac{a+b}{b};\qquad \text{б) }\frac{2-b}{5}. \]
Как это получается
Главный приём: разложить числитель и знаменатель на множители, а потом сократить одинаковые множители. Отдельные слагаемые сокращать нельзя.
40 а)
\[ \frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} =\frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)} =-\frac ab. \]40 б)
Так как \(y-x=-(x-y)\): \[ \frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} =\frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)} =-\frac{5}{x^2}. \]40 в)
\[ \frac{3a-3b}{12b-ab} =\frac{3(a-b)}{b(12-a)}. \] Общих множителей больше нет.40 г)
\[ \frac{7b-14b^2}{42b^2-21b} =\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)} =\frac{1-2b}{3(2b-1)} =-\frac13. \]40 д)
\[ \frac{25-a^2}{3a-15} =\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)} =-\frac{a+5}{3}. \]40 е)
\[ \frac{3-3x}{x^2-2x+1} =\frac{3(1-x)}{(x-1)^2} =-\frac{3}{x-1}. \]40 ж)
\[ \frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2} =\frac{8(b-a)(a+b)}{(b-a)^2} =\frac{8(a+b)}{b-a}. \]40 з)
\[ \frac{(b-2)^3}{(2-b)^2} =\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2} =b-2. \]41 а)
\[ \frac{ax+bx-ay-by}{bx-by} =\frac{x(a+b)-y(a+b)}{b(x-y)} =\frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)} =\frac{a+b}{b}. \]41 б)
\[ \frac{ab-3b-2a+6}{15-5a} =\frac{b(a-3)-2(a-3)}{5(3-a)} =\frac{(a-3)(b-2)}{-5(a-3)} =\frac{2-b}{5}. \]
Проверка, например: в 40 г) при \(b=1\) исходная дробь равна \(\frac{-7}{21}=-\frac13\), и ответ тот же.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни подробнее ограничения в ОДЗ
В предыдущем решении я сокращал дроби — это правильно, но при сокращении легко потерять ограничения. Разберём ОДЗ подробно.
1. Что такое ОДЗ в таких заданиях
ОДЗ — это все значения переменных, при которых исходное выражение вообще имеет смысл. Здесь нет корней или логарифмов, есть только дроби, поэтому действует одно главное правило:
\[ \text{знаменатель}\ne 0. \]
Если знаменатель разложен на множители:
\[ Q=Q_1Q_2\cdots Q_n, \]
то нужно потребовать:
\[ Q_1\ne0,\quad Q_2\ne0,\quad \ldots,\quad Q_n\ne0. \]
То есть каждый множитель знаменателя не равен нулю.
Числитель при этом может быть равен нулю — это не запрещено: дробь просто будет равна нулю.
2. Полные ограничения по каждому номеру
| № | Знаменатель исходной дроби | Когда он равен нулю | ОДЗ |
|---|---|---|---|
| 40 а | \(b(2y-x)\) | \(b=0\) или \(x=2y\) | \(b\ne0,\ x\ne2y\) |
| 40 б | \(x^3(y-x)\) | \(x=0\) или \(y=x\) | \(x\ne0,\ x\ne y\) |
| 40 в | \(b(12-a)\) | \(b=0\) или \(a=12\) | \(b\ne0,\ a\ne12\) |
| 40 г | \(21b(2b-1)\) | \(b=0\) или \(b=\frac12\) | \(b\ne0,\ b\ne\frac12\) |
| 40 д | \(3(a-5)\) | \(a=5\) | \(a\ne5\) |
| 40 е | \((x-1)^2\) | \(x=1\) | \(x\ne1\) |
| 40 ж | \((a-b)^2\) | \(a=b\) | \(a\ne b\) |
| 40 з | \((2-b)^2\) | \(b=2\) | \(b\ne2\) |
| 41 а | \(b(x-y)\) | \(b=0\) или \(x=y\) | \(b\ne0,\ x\ne y\) |
| 41 б | \(5(3-a)\) | \(a=3\) | \(a\ne3\) |
Запись вида \(b\ne0,\ x\ne2y\) означает, что должны выполняться оба условия одновременно.
3. Главная тонкость: сокращение может «спрятать» запрещённую точку
Нельзя забывать, что сокращать дробь на выражение \(C\) можно только тогда, когда \(C\ne0\):
\[ \frac{AC}{BC}=\frac AB \quad\text{только при } C\ne0. \]
Если при каком-то значении переменной \(C=0\), то в исходной дроби получается \(\frac00\), а это не имеет смысла. После сокращения эта точка может исчезнуть из формулы, но в ОДЗ она остаётся запрещённой.
40 а
\[ \frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} = \frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)} = -\frac ab. \]
Здесь сокращается \(x-2y\). Это можно делать только при
\[ x-2y\ne0,\quad\text{то есть}\quad x\ne2y. \]
Если \(x=2y\), то в исходной дроби и числитель, и знаменатель обнуляются: получается \(\frac00\). Поэтому пишем:
\[ -\frac ab \quad\text{при } b\ne0,\ x\ne2y. \]
40 б
\[ \frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} = -\frac{5}{x^2}. \]
Сокращается множитель \(x-y\), поэтому обязательно
\[ y\ne x. \]
Кроме того, исходный знаменатель \(x^3(y-x)\) равен нулю ещё и при \(x=0\). Поэтому:
\[ x\ne0,\quad x\ne y. \]
40 г
\[ \frac{7b-14b^2}{42b^2-21b} = -\frac13. \]
Но исходный знаменатель:
\[ 42b^2-21b=21b(2b-1). \]
Он равен нулю при
\[ b=0 \quad\text{или}\quad b=\frac12. \]
Поэтому выражение равно \(-\frac13\) не при всех \(b\), а только при
\[ b\ne0,\quad b\ne\frac12. \]
40 д
\[ \frac{25-a^2}{3a-15} = -\frac{a+5}{3}. \]
Но в исходной дроби знаменатель \(3a-15=3(a-5)\) равен нулю при \(a=5\). Значит:
\[ a\ne5. \]
После сокращения при \(a=5\) получилось бы \(-\frac{10}{3}\), но исходная дробь там не существует: было \(\frac00\).
40 з
\[ \frac{(b-2)^3}{(2-b)^2}=b-2. \]
Однако при \(b=2\) исходный знаменатель равен нулю, а числитель тоже равен нулю. Поэтому:
\[ b\ne2. \]
То есть \(b-2\) — это ответ только при \(b\ne2\).
41 а
\[ \frac{ax+bx-ay-by}{bx-by} = \frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)} = \frac{a+b}{b}. \]
Сокращается \(x-y\), поэтому нужно сохранить условие:
\[ x\ne y. \]
Кроме того, \(b\ne0\). Итоговое ОДЗ:
\[ b\ne0,\quad x\ne y. \]
При \(x=y\) исходная дробь тоже даёт \(\frac00\), хотя в упрощённом ответе \(x\) и \(y\) уже не видны.
41 б
\[ \frac{ab-3b-2a+6}{15-5a} = \frac{2-b}{5}. \]
Знаменатель \(15-5a=5(3-a)\) равен нулю при \(a=3\). Поэтому:
\[ a\ne3. \]
При \(a=3\) в исходной дроби снова получается \(\frac00\), хотя после сокращения \(a\) из ответа исчезло.
Короткий итог
- ОДЗ ищут по исходной дроби, а не по уже сокращённой.
- Для всех этих заданий достаточно потребовать, чтобы знаменатель не был равен нулю.
- Если общий множитель сократили, его нули всё равно остаются запрещёнными.
- В многопеременных примерах ограничение может быть не отдельным числом, а связью переменных: \(x\ne2y\), \(x\ne y\), \(a\ne b\).
