Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[x_1 = 2,\qquad x_2 = 3\]Как это получается
Способ 1. Через дискриминант
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
\[D = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25-24 = 1\]\(D>0\), значит корней два:
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3\]Способ 2. По теореме Виета (быстрее, когда \(a=1\))
Нужны два числа, у которых:
- сумма \(x_1+x_2 = 5\) (то есть \(-b\)),
- произведение \(x_1\cdot x_2 = 6\) (то есть \(c\)).
Подходят \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).
Разложение на множители как третий взгляд на то же самое:
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=2 \text{ или } x=3\]Проверка
- \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
- \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔
Принцип для похожих заданий
- Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
- Если коэффициенты «удобные» и \(a=1\) — попробуй Виета: ищи делители \(c\), дающие в сумме \(-b\).
- Если не подбирается — считай \(D\): при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.
- Подставь найденные корни обратно — это ловит ошибки со знаками.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Понял вопрос — разберём именно разложение на множители: откуда в скобках берётся \(x\) и почему скобки именно такие.
Что такое \(x\)
\(x\) — это не какое-то конкретное число, а «пустое место» (переменная). В него можно подставить любое число и посмотреть, что получится. Например, в выражении \(x-2\):
- подставили \(x=5\) → получилось \(3\);
- подставили \(x=2\) → получилось \(0\);
- подставили \(x=10\) → получилось \(8\).
Главная идея: корень превращается в скобку
Нам нужно, чтобы всё выражение равнялось нулю. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому каждый корень мы «упаковываем» в отдельную скобку, которая в этом корне обнуляется.
Корень \(2\) → скобка, которая равна нулю при \(x=2\). Это \((x-2)\), потому что \(2-2=0\). Корень \(3\) → скобка \((x-3)\), потому что \(3-3=0\).
Отсюда и берётся \(x\): он нужен, чтобы скобка могла обнулиться ровно в нужном месте. Поэтому пишут не \((x+2)\), а \((x-2)\) — знак «минус», потому что вычитаем сам корень: \(x - x_1\) и \(x - x_2\).
Получаем:
\[(x-2)(x-3)=0\]Теперь видно, почему ответ \(2\) и \(3\): если \(x=2\), первая скобка \(0\), всё произведение \(0\). Если \(x=3\) — вторая скобка \(0\).
Проверяем, что скобки правильные: раскрываем обратно
Умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй («фонтанчиком»):
\[(x-2)(x-3)=x\cdot x + x\cdot(-3) + (-2)\cdot x + (-2)\cdot(-3)\]Считаем по частям:
- \(x\cdot x = x^2\)
- \(x\cdot(-3) = -3x\)
- \((-2)\cdot x = -2x\)
- \((-2)\cdot(-3) = +6\) (минус на минус даёт плюс)
Складываем:
\[x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\]Получилось ровно наше уравнение. Значит разложение верное.
Тонкость, на которой часто путаются
Равенство \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) верно при любом \(x\), а не только при \(2\) и \(3\) — это просто две записи одного и того же выражения. А вот равенство \((x-2)(x-3)=0\) верно уже только при \(x=2\) или \(x=3\): ведь при \(x=5\) слева будет \(3\cdot 2=6\), а не ноль.
Общая формула — чтобы делать так же с другими числами
Если корни \(x_1\) и \(x_2\), то
\[x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)\]И при раскрытии скобок видно, откуда берутся сумма и произведение:
\[(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\]Сравни с \(x^2-5x+6\): сумма корней \(=5\), произведение \(=6\) — то самое правило Виета.
Короткий алгоритм: нашёл числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении \(6\) → это \(2\) и \(3\) → пишешь \((x-2)(x-3)=0\) → каждый множитель приравниваешь к нулю → \(x=2\), \(x=3\).
Если непонятным был другой шаг (например, дискриминант) — скажи, разберу его так же подробно.
