11

Коротко (действительные корни):

\[ \begin{aligned} а)&\ x=\pm2;\\ б)&\ t=1\pm\sqrt{\frac{3+\sqrt{13}}2};\\ в)&\ x=-3;\ 2;\\ г)&\ x=1;\ -\frac32;\ \frac{-1\pm\sqrt{17}}4;\\ д)&\ \text{корней нет};\\ е)&\ x=-2;\ -1. \end{aligned} \]

Главный приём: одинаковое выражение обозначаем новой буквой, решаем квадратное уравнение, затем возвращаемся к \(x\).

а) \(u=2x^2+3\), причём \(u\ge3\): \[ u^2-12u+11=0 \Rightarrow u=1 \text{ или } 11. \] \(u=1\) не подходит, \(u=11\): \[ 2x^2+3=11 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]

б) \(u=t^2-2t\): \[ u^2-3=u \Rightarrow u^2-u-3=0, \] \[ u=\frac{1\pm\sqrt{13}}2. \] Возвращаемся: \[ t^2-2t=u \Rightarrow (t-1)^2=u+1. \] Второй корень \(u=\frac{1-\sqrt{13}}2\) даёт \(u+1<0\), поэтому действительных \(t\) нет. Остаётся: \[ t=1\pm\sqrt{\frac{3+\sqrt{13}}2}. \]

в) \(u=x^2+x\): \[ (u-1)(u+2)=40 \Rightarrow u^2+u-42=0, \] \[ u=6 \text{ или } u=-7. \] При \(u=-7\): \(x^2+x+7=0\), дискриминант отрицательный.
При \(u=6\): \[ x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3,\ 2. \]

г) \(u=2x^2+x\): \[ (u-1)(u-4)+2=0 \Rightarrow u^2-5u+6=0, \] \[ u=2 \text{ или } u=3. \] Далее: \[ 2x^2+x=2 \Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4, \] \[ 2x^2+x=3 \Rightarrow x=1,\ -\frac32. \]

д) \(u=x^2\): \[ (u-1)(u+1)-4(u-11)=0, \] \[ u^2-4u+43=0. \] Дискриминант: \[ D=16-172=-156<0, \] поэтому действительных корней нет.

Если в вашем издании в д) напечатано \(x^2-1\), а не \(x^2-11\), то корни будут \(\pm1,\ \pm\sqrt3\).

е) \(u=x^2+3x\): \[ (u+1)(u+7)+5=0 \Rightarrow u^2+8u+12=0, \] \[ u=-2 \text{ или } u=-6. \] При \(u=-2\): \[ x^2+3x+2=0 \Rightarrow x=-2,\ -1. \] При \(u=-6\): \[ x^2+3x+6=0, \] дискриминант \(9-24<0\), корней нет.

Подстановка найденных значений в исходные уравнения даёт \(0\).