11

Кратко (действительные корни):

а) \(x=\pm 2\)
б) \(t=1\pm\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}}\)
в) \(x=-3;\ 2\)
г) \(x=1;\ -\dfrac32;\ \dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\)
д) по фото в последней скобке стоит \(x^2-11\), тогда действительных корней нет. Если там опечатка и должно быть \(x^2-1\), то \(x=\pm1;\ \pm\sqrt3\).
е) \(x=-1;\ -2\)

Общий принцип. Нужно заметить повторяющееся выражение, обозначить его новой буквой, решить получившееся квадратное уравнение, а потом вернуться к старой переменной. Важно проверять, какие значения новой переменной вообще возможны.

Подробно

а) Пусть \(y=2x^2+3\). Тогда \[ y^2-12y+11=0 \Rightarrow (y-1)(y-11)=0. \] Значит, \(y=1\) или \(y=11\). Но \(2x^2+3\ge 3\), поэтому \(y=1\) не подходит. Остаётся: \[ 2x^2+3=11 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]

б) Пусть \(y=t^2-2t\). Тогда \[ y^2-y-3=0 \Rightarrow y=\frac{1\pm\sqrt{13}}2. \] При этом \[ t^2-2t=(t-1)^2-1\ge -1. \] Корень \(y=\dfrac{1-\sqrt{13}}2\approx -1{,}30\) меньше \(-1\), поэтому не подходит. Берём \[ y=\frac{1+\sqrt{13}}2. \] Далее: \[ (t-1)^2-1=y \Rightarrow (t-1)^2=y+1=\frac{3+\sqrt{13}}2. \] Отсюда \[ t=1\pm\sqrt{\frac{3+\sqrt{13}}2}. \]

в) Пусть \(y=x^2+x\). Тогда \[ (y-1)(y+2)=40, \] \[ y^2+y-42=0, \] \[ (y-6)(y+7)=0. \] Значит, \(y=6\) или \(y=-7\).

• \(x^2+x=6\): \(x^2+x-6=0\), откуда \(x=2\) или \(x=-3\).
• \(x^2+x=-7\): \(x^2+x+7=0\), дискриминант \(1-28<0\), действительных корней нет.

г) Пусть \(y=2x^2+x\). Тогда \[ (y-1)(y-4)+2=0, \] \[ y^2-5y+6=0, \] \[ (y-2)(y-3)=0. \] Значит, \(y=2\) или \(y=3\).

• \(2x^2+x=2\): \(2x^2+x-2=0\), откуда \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4. \]
• \(2x^2+x=3\): \(2x^2+x-3=0\), откуда \[ x=1 \quad \text{или}\quad x=-\frac32. \]

д) По фото: \[ (x^2-1)(x^2+1)-4(x^2-11)=0. \] Пусть \(z=x^2\ge 0\). Тогда \[ (z-1)(z+1)-4(z-11)=0, \] \[ z^2-1-4z+44=0, \] \[ z^2-4z+43=0. \] Дискриминант: \[ D=16-4\cdot43=16-172<0. \] Поэтому действительных корней нет.

Если в вашем издании в последней скобке стоит \(x^2-1\), то получается \[ z^2-4z+3=0 \Rightarrow z=1;\ 3, \] и тогда \(x=\pm1;\ \pm\sqrt3\).

е) Пусть \(y=x^2+3x\). Тогда \[ (y+1)(y+7)+5=0, \] \[ y^2+8y+12=0, \] \[ (y+2)(y+6)=0. \] Значит, \(y=-2\) или \(y=-6\).

• \(x^2+3x=-2\): \(x^2+3x+2=0\), откуда \(x=-1\) или \(x=-2\).
• \(x^2+3x=-6\): \(x^2+3x+6=0\), дискриминант \(9-24<0\), корней нет.

Главное в таких заданиях — правильно увидеть повторяющийся блок и не забыть вернуться от новой переменной к исходной.