28 вариант
Для варианта 28:
\(A(1;1;-3)\), \(B(-3;2;-1)\), \(C(4;1;2)\), \(D(7;-3;0)\).
Краткий ответ
\(\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}=(-13;-12;-15)\).
Если в задании нужен модуль этой комбинации: \(\sqrt{538}\).\[ |\vec{AB}|=\sqrt{21},\quad |\vec{BC}|=\sqrt{59},\quad |\vec{CD}|=\sqrt{29}. \]
\[ \cos(\vec{AB},\vec{BC})=-\frac{23}{\sqrt{1239}},\qquad \cos(\vec{BC},\vec{CD})=\frac{19}{\sqrt{1711}}. \]
\[ (\vec{AB}+\vec{CD})\cdot\vec{AD}=6. \]
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) не коллинеарны.
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) не ортогональны.
Как это получается
Сначала находим векторы по формуле
\(\vec{PQ}=Q-P\):
\[ \vec{AB}=(-4;1;2), \] \[ \vec{BC}=(7;-1;3), \] \[ \vec{CD}=(3;-4;-2), \] \[ \vec{AD}=(6;-4;3). \]
Проверка:
\[
\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}
=(-4+7+3;\ 1-1-4;\ 2+3-2)
=(6;-4;3)=\vec{AD}.
\]
1. Линейная комбинация
\[ \vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD} = (-4;1;2)-3(7;-1;3)+4(3;-4;-2) \] \[ =(-4-21+12;\ 1+3-16;\ 2-9-8) =(-13;-12;-15). \]
Если это была длина: \[ |(-13;-12;-15)| =\sqrt{13^2+12^2+15^2} =\sqrt{538}. \]
2. Длины
\[ |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
\[ |\vec{AB}|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}, \] \[ |\vec{BC}|=\sqrt{49+1+9}=\sqrt{59}, \] \[ |\vec{CD}|=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}. \]
3. Косинусы углов
Формула: \[ \cos(\vec u,\vec v)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}. \]
Для \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{AB}\cdot\vec{BC} =(-4)\cdot7+1\cdot(-1)+2\cdot3 =-23. \] \[ \cos(\vec{AB},\vec{BC}) =\frac{-23}{\sqrt{21}\sqrt{59}} =-\frac{23}{\sqrt{1239}}. \]
Для \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{BC}\cdot\vec{CD} =7\cdot3+(-1)(-4)+3(-2) =19. \] \[ \cos(\vec{BC},\vec{CD}) =\frac{19}{\sqrt{59}\sqrt{29}} =\frac{19}{\sqrt{1711}}. \]
4. Скалярное произведение
\[ \vec{AB}+\vec{CD}=(-4+3;\ 1-4;\ 2-2)=(-1;-3;0). \] \[ (\vec{AB}+\vec{CD})\cdot\vec{AD} =(-1)\cdot6+(-3)\cdot(-4)+0\cdot3 =6. \]
5. Коллинеарность
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Для \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
\[ \frac{-4}{3}\ne \frac{1}{-4}, \]
поэтому векторы не коллинеарны.
6. Ортогональность
Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{CD} =(-4)\cdot3+1\cdot(-4)+2\cdot(-2) =-20\ne0. \]
Значит, векторы не ортогональны.
