объясни как решать линейные уравнения

Держи уравнение — оно ровно на те шаги из памятки: дроби, знаки, приведение подобных.

\[\frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{2} = 1\]

Реши его сам, а потом пришли ход решения (или просто ответ) — я проверю и покажу, где что пошло не так, если что-то не сойдётся. Подсказка одна: начни с умножения обеих частей на общий знаменатель, а у второй дроби следи за знаком минуса перед ней.

Ответ

\[x = -2\]

Решение по шагам

\[\frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{2} = 1\]

Шаг 1. Убираем дроби. Общий знаменатель 3 и 2 — это 6. Умножаем на 6 каждое слагаемое (и правую часть тоже):

\[6 \cdot \frac{2x+1}{3} - 6 \cdot \frac{x-2}{2} = 6 \cdot 1\]

Получаем:

\[2(2x+1) - 3(x-2) = 6\]

Шаг 2. Раскрываем скобки. Внимание на минус перед второй скобкой — он меняет знаки у обоих слагаемых:

\[2(2x+1) = 4x + 2\] \[-3(x-2) = -3x + 6\] \[4x + 2 - 3x + 6 = 6\]

Шаг 3. Приводим подобные в левой части:

\[x + 8 = 6\]

Шаг 4. Переносим число вправо со сменой знака:

\[x = 6 - 8 = -2\]

Шаг 5. Проверка (подставляем в исходное уравнение):

\[\frac{2\cdot(-2)+1}{3} = \frac{-3}{3} = -1\] \[\frac{-2-2}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[-1 - (-2) = -1 + 2 = 1 \ ✔\]

Левая часть равна правой — корень найден верно.

Где тут обычно ошибаются

• Умножили на 6 только дроби, а единицу справа забыли — тогда ответ другой.
• Не поставили скобки: \(-3(x-2)\) превратили в \(-3x - 2\) вместо \(-3x + 6\). Это самая частая ошибка именно в этом уравнении.

Хочешь, дам ещё одно — чуть посложнее, с \(x\) в обеих частях?

Возьмём уравнение без дробей

\[5x - 7 = 2x + 8\]

Здесь только целые числа. Разберём, что означает каждая часть.

Что вообще написано

• \(x\) — неизвестное число, его надо найти.
• \(5x\) — это «5 умножить на \(x\)», то есть пять таких неизвестных чисел.
• \(2x\) — два таких же неизвестных числа.
• Слева и справа стоят два выражения, и между ними знак «равно». Значит, эти выражения равны по значению.

Представь весы: слева груз \(5x - 7\), справа \(2x + 8\), и чаши в равновесии. Что делаем с одной чашей, то же делаем с другой — равновесие не нарушается.

Шаг 1. Собрать \(x\) с одной стороны

Слева пять \(x\), справа два \(x\). Уберём два \(x\) справа — но тогда надо убрать два \(x\) и слева, чтобы весы остались в равновесии. То есть из обеих частей вычитаем \(2x\):

\[5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x\] \[3x - 7 = 8\]

Пять \(x\) минус два \(x\) — это три \(x\). Справа \(x\) исчезли.

Шаг 2. Собрать числа с другой стороны

Слева лишнее «\(-7\)». Чтобы от него избавиться, прибавим 7 к обеим частям:

\[3x - 7 + 7 = 8 + 7\] \[3x = 15\]

Шаг 3. Найти один \(x\)

Три одинаковых \(x\) вместе дают 15. Значит, один \(x\) в три раза меньше:

\[x = 15 : 3 = 5\]

Проверка — обязательный шаг

Подставляем 5 вместо \(x\) в исходное уравнение:

• слева: \(5 \cdot 5 - 7 = 25 - 7 = 18\);
• справа: \(2 \cdot 5 + 8 = 10 + 8 = 18\).

Слева 18 и справа 18 — значит, \(x = 5\) найдено верно.

Короткое правило, которое тут сработало

Всё, что с \(x\), переносим в одну сторону, все числа — в другую, меняя знак при переносе через «равно». Потом делим на число перед \(x\).

То же самое в три строчки:

\[5x - 7 = 2x + 8\] \[5x - 2x = 8 + 7\] \[3x = 15 \Rightarrow x = 5\]

Хочешь, дам похожее уравнение с целыми числами, чтобы ты решил сам?

Ответ: \(x = 5\)

Решаю уравнение, в котором только целые числа:

\[5x - 7 = 2x + 8\]

Решение

1. Собираем \(x\) в левой части. Вычитаем \(2x\) из обеих частей:

\[5x - 2x - 7 = 8\] \[3x - 7 = 8\]

2. Собираем числа в правой части. Прибавляем 7 к обеим частям:

\[3x = 8 + 7\] \[3x = 15\]

3. Делим обе части на 3:

\[x = 15 : 3 = 5\]

Проверка

• слева: \(5 \cdot 5 - 7 = 25 - 7 = 18\);
• справа: \(2 \cdot 5 + 8 = 10 + 8 = 18\).

\(18 = 18\) — корень верный.

Коротко: \(5x - 2x = 8 + 7 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5\).

Пришли само уравнение — без него решать нечего. 🙂

Если ты имел в виду то же \(5x-7=2x+8\), то совсем коротко:

\[5x-2x=8+7 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5\]

Напиши новое уравнение — решу так же быстро.

Держи — только целые числа, без дробей, но с \(x\) в обеих частях и со скобкой:

\[4(x - 3) = 2x + 6\]

Реши сам и пришли ответ (можно и по шагам) — я проверю и скажу, где ошибка, если она будет.

Небольшая подсказка: сначала раскрой скобку, а потом собери \(x\) с одной стороны, числа — с другой.

Почти — но не сходится, проверь подстановкой:

• слева при \(x=6\): \(4(6-3)=4\cdot3=12\);
• справа: \(2\cdot6+6=18\).

\(12 \neq 18\), значит \(x=6\) не корень. Скорее всего, потерялся знак при переносе. Смотри:

\[4(x-3) = 2x+6\] \[4x - 12 = 2x + 6\] \[4x - 2x = 6 + 12\]

Вот здесь важный момент: \(-12\) переходит вправо как \(+12\), поэтому справа \(6+12=18\), а не \(6-12\).

\[2x = 18\] \[x = 9\]

Проверка: слева \(4(9-3)=4\cdot6=24\), справа \(2\cdot9+6=24\). Совпало ✔

Так что ответ \(x=9\). Хочешь ещё одно такое же для закрепления?

Держи, в том же духе — целые числа, \(x\) в обеих частях, со скобками:

\[3(x + 4) = 5x - 2\]

Реши сам и пришли ответ — я проверю. Подсказка: раскрой скобку, собери \(x\) в одной части, числа — в другой. И следи за знаком при переносе: именно там в прошлый раз и потерялся верный ответ.

Не сходится — проверь подстановкой при \(x=5\):

• слева: \(3(5+4)=3\cdot9=27\);
• справа: \(5\cdot5-2=23\).

\(27 \neq 23\), значит \(x=5\) не корень. Разберём, где спряталась ошибка:

\[3(x+4) = 5x - 2\] \[3x + 12 = 5x - 2\]

Теперь собираем \(x\) слева, числа справа:

\[3x - 5x = -2 - 12\] \[-2x = -14\] \[x = \frac{-14}{-2} = 7\]

Минус на минус даёт плюс — вот на этом шаге легко ошибиться и получить 5 или \(-7\) вместо 7.

Проверка: слева \(3(7+4)=3\cdot11=33\); справа \(5\cdot7-2=35-2=33\). Совпало ✔

Ответ: \(x=7\). Хочешь ещё одно уравнение — или разберём отдельно, как аккуратно переносить с минусами?

Держи — снова целые числа и \(x\) в обеих частях, но теперь ответ будет с минусом (это как раз полезно потренировать):

\[4(x + 5) = 2x + 6\]

Реши и пришли ответ — проверю. Подсказка: всё та же схема — раскрыть скобку, собрать \(x\) в одной части, числа в другой, а в конце разделить на число перед \(x\), не теряя минус.

Не сходится — проверь подстановкой при \(x=13\):

• слева: \(4(13+5)=4\cdot18=72\);
• справа: \(2\cdot13+6=26+6=32\).

\(72 \neq 32\), значит корень не 13. Похоже, число 20 переехало вправо без смены знака (получилось \(20+6\) вместо \(-20+6\) — я и обещал ответ с минусом). Вот как правильно:

\[4(x+5) = 2x + 6\] \[4x + 20 = 2x + 6\]

Собираем \(x\) слева, числа справа. И \(2x\), и \(20\) меняют знак при переносе:

\[4x - 2x = 6 - 20\] \[2x = -14\] \[x = -7\]

Проверка: слева \(4(-7+5)=4\cdot(-2)=-8\); справа \(2\cdot(-7)+6=-14+6=-8\). Совпало ✔

Ответ: \(x=-7\).

Правило, которое здесь решает всё: переносишь через «равно» — меняй знак. Хочешь, дам ещё одно с минусом в ответе, чтобы закрепить?

Держи ещё одно, тоже с минусом в ответе — и здесь минус появится в двух местах сразу:

\[5(x - 2) = 3x - 16\]

Реши и пришли ответ — проверю. Подсказка: после раскрытия скобки переноси через «равно» со сменой знака, и не забывай, что при делении отрицательного числа на положительное знак сохраняется.

Не сходится — проверь подстановкой при \(x=3\):

• слева: \(5(3-2)=5\cdot1=5\);
• справа: \(3\cdot3-16=9-16=-7\).

\(5 \neq -7\), значит \(x=3\) не корень. Скорее всего, на последнем шаге потерялся минус: получилось \(2x=6\) вместо \(2x=-6\). Смотри:

\[5(x-2) = 3x - 16\] \[5x - 10 = 3x - 16\]

Собираем \(x\) слева, числа справа — оба переноса со сменой знака:

\[5x - 3x = -16 + 10\] \[2x = -6\] \[x = -3\]

Проверка: слева \(5(-3-2)=5\cdot(-5)=-25\); справа \(3\cdot(-3)-16=-9-16=-25\). Совпало ✔

Ответ: \(x=-3\).

Ключевой момент: \(-10\) переходит вправо как \(+10\), а \(-16\) остаётся с минусом — поэтому справа \(-16+10=-6\), а не \(+6\).

Хочешь, разберём отдельно правило знаков при переносе — или дам ещё одно уравнение?

Держи — снова целые числа, \(x\) в обеих частях, ответ тоже будет отрицательным:

\[6(x - 1) = 2x - 18\]

Реши и пришли ответ — проверю подстановкой. Подсказка: сначала раскрой скобку, потом собери \(x\) слева, числа справа, и на каждом переносе меняй знак.

Не сходится — проверь подстановкой при \(x=12\):

• слева: \(6(12-1)=6\cdot11=66\);
• справа: \(2\cdot12-18=24-18=6\).

\(66 \neq 6\), значит \(x=12\) не корень. Похоже, при сборе чисел справа получилось \(+24\) вместо \(-12\): \(-18\) и \(+6\) при сложении дают \(-12\), а не \(-18-6\). Смотри аккуратно:

\[6(x-1) = 2x - 18\] \[6x - 6 = 2x - 18\]

Собираем \(x\) слева, числа справа — каждый перенос со сменой знака:

\[6x - 2x = -18 + 6\] \[4x = -12\] \[x = -3\]

Проверка: слева \(6(-3-1)=6\cdot(-4)=-24\); справа \(2\cdot(-3)-18=-6-18=-24\). Совпало ✔

Ответ: \(x=-3\).

Главное здесь: справа складываются два числа с разными знаками, поэтому \(|-18+6|=12\), и знак остаётся минус. А делим \(-12\) на \(4\) — минус сохраняется.

Хочешь, дам ещё одно такое же или разберём правило знаков отдельно?

Держи — тот же уровень: целые числа, \(x\) в обеих частях, ответ с минусом.

\[5(x + 3) = 2x - 3\]

Реши и пришли ответ — проверю подстановкой. Подсказка: раскрой скобку, собери \(x\) слева, числа справа, на каждом переносе меняй знак. И помни: при делении отрицательного числа на положительное знак результата сохраняется.

Не сходится — проверь подстановкой при \(x=6\):

• слева: \(5(6+3)=5\cdot9=45\);
• справа: \(2\cdot6-3=12-3=9\).

\(45 \neq 9\), значит \(x=6\) не корень. Тут ответ как раз отличается только знаком — минус потерялся. Смотри:

\[5(x+3) = 2x - 3\] \[5x + 15 = 2x - 3\]

Собираем \(x\) слева, числа справа — каждый перенос со сменой знака:

\[5x - 2x = -3 - 15\] \[3x = -18\] \[x = -6\]

Важный момент: \(+15\) переходит вправо как \(-15\), поэтому справа \(-3-15=-18\), а не \(-3+15\).

Проверка: слева \(5(-6+3)=5\cdot(-3)=-15\); справа \(2\cdot(-6)-3=-12-3=-15\). Совпало ✔

Ответ: \(x=-6\). Деление \(-18:3\) даёт \(-6\), минус остаётся.

Хочешь, дам ещё одно — или сначала потренируем отдельно перенос чисел с минусами?

Держи — целые числа, \(x\) в обеих частях, ответ снова с минусом:

\[4(x - 3) = 2x - 20\]

Реши и пришли ответ — проверю подстановкой. Подсказка та же: раскрой скобку, собери \(x\) слева, числа справа, на каждом переносе меняй знак. Следи за выражением \(-20\): оно остаётся с минусом.

Верно! ✔ \(x=-4\) — это корень.

Проверка:

• слева: \(4(-4-3)=4\cdot(-7)=-28\);
• справа: \(2\cdot(-4)-20=-8-20=-28\).

\(-28=-28\) — совпало.

Как должно было получиться:

\[4(x-3) = 2x - 20\] \[4x - 12 = 2x - 20\] \[4x - 2x = -20 + 12\] \[2x = -8\] \[x = -4\]

Здесь ты не потерял минус ни на переносе, ни при делении — именно то, что раньше и ломалось.

Хочешь уравнение чуть посложнее — например, со скобками в обеих частях?

Держи — теперь со скобками в обеих частях:

\[3(x + 2) = 2(x - 5)\]

Реши и пришли ответ — проверю подстановкой. Подсказка: раскрой обе скобки (следи за знаком у \(2(x-5)\)), потом собери \(x\) слева, числа справа. Ответ снова будет с минусом.

Не сходится — проверь подстановкой при \(x=-2\):

• слева: \(3(-2+2)=3\cdot0=0\);
• справа: \(2(-2-5)=2\cdot(-7)=-14\).

\(0 \neq -14\), значит \(x=-2\) не корень. Скорее всего, двойка умножилась только на \(x\), а на \(-5\) — нет, или при переносе \(+6\) не сменился знак. Смотри:

\[3(x+2) = 2(x-5)\] \[3x + 6 = 2x - 10\]

Здесь важно: \(2(x-5)=2x-10\), двойка умножается на оба слагаемых в скобке.

Собираем \(x\) слева, числа справа — каждый перенос со сменой знака:

\[3x - 2x = -10 - 6\] \[x = -16\]

Проверка: слева \(3(-16+2)=3\cdot(-14)=-42\); справа \(2(-16-5)=2\cdot(-21)=-42\). Совпало ✔

Ответ: \(x=-16\).

Когда \(x\) остаётся в первой степени с коэффициентом 1, делить уже не на что — последний шаг просто исчезает, и полученное число сразу и есть корень.

Хочешь ещё одно с раскрытием скобок в обеих частях?

Держи — снова скобки в обеих частях:

\[5(x - 1) = 3(x + 7)\]

Реши и пришли ответ — проверю подстановкой. Подсказка: раскрой обе скобки (умножай на число каждое слагаемое внутри), потом собери \(x\) слева, числа справа, на каждом переносе меняй знак. Ответ получится положительным — проверь, не потеряется ли плюс.

Верно! ✔ \(x=13\) — корень.

Проверка:

• слева: \(5(13-1)=5\cdot12=60\);
• справа: \(3(13+7)=3\cdot20=60\).

\(60=60\) — совпало.

Полное решение:

\[5(x-1) = 3(x+7)\] \[5x - 5 = 3x + 21\] \[5x - 3x = 21 + 5\] \[2x = 26\] \[x = 13\]

Здесь всё сошлось: раскрыл обе скобки, перенёс со сменой знака, разделил на 2 — и знак не потерял.

Хочешь ещё потренироваться или на этом закончим?

Держи — скобки в обеих частях, и здесь после переноса коэффициент при \(x\) окажется отрицательным:

\[4(x + 2) = 6(x - 4)\]

Реши и пришли ответ — проверю подстановкой. Подсказка: раскрой обе скобки, собери \(x\) слева, числа справа, меняй знак при каждом переносе. В конце придётся делить отрицательное число на отрицательное — вспомни, какой знак получится.