Вариант 28

Вариант 28.
\(A(1;1;-3),\ B(-3;2;-1),\ C(4;1;2),\ D(7;-3;0)\).

Сначала находим векторы: \[ \vec{AB}=(-4;1;2),\quad \vec{BC}=(7;-1;3),\quad \vec{CD}=(3;-4;-2),\quad \vec{AD}=(6;-4;3). \]

Краткие ответы

1. \(\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}=(-13;-12;-15)\).
   Если нужен модуль: \(\sqrt{538}\approx23{,}19\).
2. \[ |\vec{AB}|=\sqrt{21},\quad |\vec{BC}|=\sqrt{59},\quad |\vec{CD}|=\sqrt{29}. \]
3. \[ \cos\angle(\vec{AB},\vec{BC}) =-\frac{23}{\sqrt{1239}}\approx-0{,}653, \] \[ \cos\angle(\vec{BC},\vec{CD}) =\frac{19}{\sqrt{1711}}\approx0{,}459. \]
4. \[ (\vec{AB}+\vec{CD})\cdot\vec{AD}=6. \]
5. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) не коллинеарны.
6. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) не ортогональны.

Как это получено

Вектор \(\vec{XY}\) находится по формуле \[ \vec{XY}=(x_Y-x_X;\ y_Y-y_X;\ z_Y-z_X). \] Например: \[ \vec{AB}=(-3-1;\ 2-1;\ -1-(-3))=(-4;1;2). \]

1. Линейная комбинация считается покоординатно: \[ (-4;1;2)-3(7;-1;3)+4(3;-4;-2) =(-13;-12;-15). \]

2. Длина вектора: \[ |\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}. \] Поэтому \[ |\vec{AB}|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}, \] \[ |\vec{BC}|=\sqrt{49+1+9}=\sqrt{59}, \] \[ |\vec{CD}|=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}. \]

3. Косинус угла между векторами: \[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}. \] Считаем скалярные произведения: \[ \vec{AB}\cdot\vec{BC} =(-4)\cdot7+1\cdot(-1)+2\cdot3=-23, \] \[ \vec{BC}\cdot\vec{CD} =7\cdot3+(-1)(-4)+3(-2)=19. \] Отсюда получаются значения из ответа.

4. \[ \vec{AB}+\vec{CD}=(-1;-3;0), \] \[ (-1;-3;0)\cdot(6;-4;3) =-6+12+0=6. \]

5. Если бы векторы были коллинеарны, их координаты были бы пропорциональны. Но \[ \frac{-4}{3}\ne\frac{1}{-4}, \] значит, векторы не коллинеарны.

6. Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{AB}\cdot\vec{CD} =(-4)\cdot3+1\cdot(-4)+2\cdot(-2) =-20\ne0. \] Значит, векторы не ортогональны.

Главный принцип: координаты вектора — «конец минус начало»; длина — корень из суммы квадратов; угол ищется через скалярное произведение; коллинеарность проверяется пропорциональностью координат, ортогональность — равенством скалярного произведения нулю.