Решай 17
Решение задания 17. Пары записаны в порядке \((x;y)\), рассматриваем действительные числа.
Кратко:
- а) \((\sqrt{10};\sqrt{10})\), \((-\sqrt{10};-\sqrt{10})\), \((4;2)\), \((-4;-2)\);
- б) \((2;1)\), \((-2;-1)\);
- в) \((2;4)\), \((-2;-4)\);
- г) действительных решений нет.
Как получаются ответы
Главная идея: первое уравнение почти во всех пунктах однородное — его левую часть можно разложить на множители. Тогда произведение равно нулю, значит, равен нулю один из множителей.
а) \[ x^2-3xy+2y^2=(x-y)(x-2y). \] Поэтому \(x=y\) или \(x=2y\).
Если \(x=y\), то \[ x^2+y^2=2y^2=20 \Rightarrow y^2=10, \] отсюда \((x;y)=(\sqrt{10};\sqrt{10})\) или \((-\sqrt{10};-\sqrt{10})\).
Если \(x=2y\), то \[ x^2+y^2=4y^2+y^2=5y^2=20 \Rightarrow y^2=4. \] Тогда \(y=\pm2\), \(x=\pm4\), причём знаки одинаковые: \[ (4;2),\quad (-4;-2). \]
б) \[ x^2+xy-6y^2=(x+3y)(x-2y). \] Значит, \(x=-3y\) или \(x=2y\).
При \(x=-3y\) второе уравнение даёт \[ 26y^2=-4, \] что невозможно для действительных \(y\).
При \(x=2y\): \[ 4y^2-10y^2+2y^2=-4y^2=-4 \Rightarrow y^2=1. \] Отсюда \((2;1)\), \((-2;-1)\).
в) \[ 2x^2-3xy+y^2=(2x-y)(x-y). \] То есть \(y=2x\) или \(y=x\).
Если \(y=x\), то \(y^2-x^2=0\), а должно быть \(12\). Этот случай не подходит.
Если \(y=2x\), то \[ y^2-x^2=4x^2-x^2=3x^2=12 \Rightarrow x^2=4. \] Тогда \(x=\pm2\), \(y=\pm4\) с одинаковыми знаками: \[ (2;4),\quad (-2;-4). \]
г) \[ x^2-xy+5y^2=\left(x-\frac y2\right)^2+\frac{19}{4}y^2. \] Сумма квадратов равна нулю только при \[ y=0,\quad x=0. \] Но тогда второе уравнение даёт \(0=9\), что неверно.
Значит, у системы г) нет действительных решений.
Проверка: например, для а) \((4;2)\): \(16-24+8=0\) и \(16+4=20\); для б) \((2;1)\): \(4+2-6=0\) и \(4-10+2=-4\). Остальные пары проверяются подстановкой так же.
