Свойства по геометрии за восьмой класс?

Кратко: в курсе геометрии 8 класса главное — свойства четырёхугольников, средняя линия, теорема Пифагора, подобие и углы в окружности. Важно различать свойство (что можно использовать, если фигура уже дана) и признак (как доказать, что фигура именно такая).

1. Четырёхугольники

Параллелограмм — противоположные стороны попарно параллельны. Свойства:

• противоположные стороны и углы равны;
• соседние углы в сумме дают \(180^\circ\);
• диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом. Главное дополнительное свойство: диагонали равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Главные дополнительные свойства:

• диагонали перпендикулярны;
• диагонали делят углы ромба пополам.

Квадрат обладает сразу свойствами прямоугольника и ромба.

Трапеция — две стороны параллельны (основания). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \[ m=\frac{a+b}{2}. \] В равнобедренной трапеции углы при основании равны, а диагонали равны.

2. Средняя линия треугольника

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине: \[ MN\parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2}. \]

3. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике с катетами \(a,b\) и гипотенузой \(c\): \[ a^2+b^2=c^2. \]

Проверка: если катеты \(3\) и \(4\), то \[ c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. \] Обратная теорема: если для сторон выполняется \(a^2+b^2=c^2\), то треугольник прямоугольный.

4. Подобие треугольников

Если треугольники подобны, то:

• соответственные углы равны;
• соответственные стороны пропорциональны;
• отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_1}{S_2}=k^2. \]

5. Окружность

• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
• У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).
• У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.

6. Площади

\[ S_{\text{паралл.}}=ah,\qquad S_{\triangle}=\frac12 ah,\qquad S_{\text{трап.}}=\frac{a+b}{2}h. \] Для ромба также: \[ S=\frac12 d_1d_2. \]

Проверка на примере: в параллелограмме один угол равен \(50^\circ\). Тогда противоположный тоже \(50^\circ\), а два соседних — по \(180^\circ-50^\circ=130^\circ\). Сумма всех углов: \(50+130+50+130=360^\circ\).

Какая именно тема нужна — четырёхугольники, подобие или окружность? Тогда разберу свойства подробнее и с примерами.