реши задание 430 а б

Ответ:

а) \(\dfrac{x^2-2}{x+\sqrt{2}}=x-\sqrt{2}\), если \(x\ne -\sqrt{2}\);

б) \(\dfrac{\sqrt{5}-a}{5-a^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}+a}\), если \(a\ne \pm\sqrt{5}\).

Как это получается

Используем формулу разности квадратов:

\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v). \]

а) Представим \(2\) как \((\sqrt{2})^2\):

\[ x^2-2=x^2-(\sqrt{2})^2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}). \]

Значит,

\[ \frac{x^2-2}{x+\sqrt{2}} = \frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x+\sqrt{2}} = x-\sqrt{2}. \]

Общий множитель \(x+\sqrt{2}\) сокращается. При этом \(x\ne -\sqrt{2}\), иначе знаменатель равен нулю.

б) Аналогично:

\[ 5-a^2=(\sqrt{5})^2-a^2=(\sqrt{5}-a)(\sqrt{5}+a). \]

Поэтому

\[ \frac{\sqrt{5}-a}{5-a^2} = \frac{\sqrt{5}-a}{(\sqrt{5}-a)(\sqrt{5}+a)} = \frac{1}{\sqrt{5}+a}. \]

Здесь \(a\ne\sqrt{5}\) и \(a\ne-\sqrt{5}\), потому что при этих значениях исходный знаменатель равен нулю.

Проверка: например, в пункте а при \(x=3\): \[ \frac{9-2}{3+\sqrt{2}}=\frac{7}{3+\sqrt{2}}, \qquad 3-\sqrt{2}\approx1{,}586. \] Оба значения совпадают.