Помоги с домашкой
Кратко:
а) \((x+25)(x-30)<0\)
\[
x\in(-25;\,30)
\]
б) \((x+6)(x-6)>0\)
\[
x\in(-\infty;\,-6)\cup(6;\,+\infty)
\]
в) \(\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac15\right)\le 0\)
\[
x\in\left[\frac15;\,\frac13\right]
\]
г) \((x+0{,}1)(x+6{,}3)\ge 0\)
\[
x\in(-\infty;\,-6{,}3]\cup[-0{,}1;\,+\infty)
\]
Как это получается
- Находим нули каждого множителя — это границы интервалов.
- Отмечаем их на числовой прямой.
- Определяем знак произведения на одном промежутке, дальше знаки чередуются.
- Для строгих неравенств \(<\) и \(>\) границы не включаем, для нестрогих \(\le\) и \(\ge\) — включаем.
Например, в пункте а корни: \(-25\) и \(30\).
При \(x=0\):
\[
(0+25)(0-30)=25\cdot(-30)<0,
\]
значит подходит промежуток между корнями. Границы не включаем, потому что неравенство строгое:
\[
(-25;30).
\]
В пункте в корни \(\frac15\) и \(\frac13\). Произведение меньше нуля между ними, а из-за знака \(\le\) концы входят: \[ \left[\frac15;\frac13\right]. \]
Проверка пункта г: при \(x=0\) произведение положительно, значит подходит правый промежуток; слева знак тоже положительный, поэтому ответ — два внешних промежутка.
Обсуждение
2 сообщенияМожешь с решениями сделать
Конечно. Вот оформление «в тетрадь» — метод интервалов, с расстановкой знаков.
а) \((x+25)(x-30)<0\)
1. Нули множителей: \[ x+25=0 \Rightarrow x=-25, \qquad x-30=0 \Rightarrow x=30. \]
2. Отмечаем точки на числовой прямой (выколотые, т.к. знак строгий):
\[ -\infty \;\; \overset{-25}{\circ} \;\; \overset{30}{\circ} \;\; +\infty \]
3. Определяем знак на промежутке \((30;\,+\infty)\), берём \(x=40\): \[ (40+25)(40-30)=65\cdot 10>0 \Rightarrow «+». \]
Знаки чередуются: \[ + \;\; \Big|\;\; - \;\; \Big|\;\; + \] (слева от \(-25\): «+», между корнями: «−», справа от \(30\): «+»)
4. Нужен знак «−», границы не включаем: \[ \boxed{x\in(-25;\,30)} \]
б) \((x+6)(x-6)>0\)
1. Нули: \[ x=-6,\qquad x=6. \]
2. Точки выколотые (неравенство строгое).
3. При \(x=0\): \[ (0+6)(0-6)=6\cdot(-6)=-36<0, \] значит между корнями «−», а снаружи «+».
4. Нужен «+»: \[ \boxed{x\in(-\infty;\,-6)\cup(6;\,+\infty)} \]
(Кстати, \((x+6)(x-6)=x^2-36\), поэтому неравенство читается как \(x^2>36\), то есть \(|x|>6\).)
в) \(\left(x-\dfrac13\right)\left(x-\dfrac15\right)\le 0\)
1. Нули: \[ x=\frac13,\qquad x=\frac15. \]
2. Сравним: \(\frac15=0{,}2\), а \(\frac13\approx 0{,}33\), поэтому порядок такой: \[ \frac15 \;<\; \frac13. \]
3. Точки закрашенные (знак \(\le\) — нестрогий).
4. Старший коэффициент положителен, значит между корнями произведение отрицательно, снаружи — положительно. Берём \(x=0{,}25\): \[ \left(0{,}25-\tfrac13\right)\left(0{,}25-\tfrac15\right)=\left(-\tfrac{1}{12}\right)\cdot\left(+\tfrac{1}{20}\right)<0. \] Подтвердилось.
5. Нужен знак «−», концы включаем: \[ \boxed{x\in\left[\frac15;\,\frac13\right]} \]
г) \((x+0{,}1)(x+6{,}3)\ge 0\)
1. Нули: \[ x=-0{,}1,\qquad x=-6{,}3. \]
2. Порядок на прямой: \(-6{,}3<-0{,}1\). Точки закрашенные.
3. Проверим знак в середине, возьмём \(x=-1\): \[ (-1+0{,}1)(-1+6{,}3)=(-0{,}9)\cdot(5{,}3)=-4{,}77<0. \] Значит между корнями «−», снаружи «+».
4. Нужен «+»: \[ \boxed{x\in(-\infty;\,-6{,}3]\cup[-0{,}1;\,+\infty)} \]
Общее правило для записи в тетрадь:
| Знак неравенства | Точки на прямой | Скобки в ответе |
|---|---|---|
| \(<\) или \(>\) | выколотые \(\circ\) | круглые \((\) \()\) |
| \(\le\) или \(\ge\) | закрашенные \(\bullet\) | квадратные \([\) \(]\) на границах |
Скобки у \(-\infty\) и \(+\infty\) всегда круглые — бесконечность не является числом.
