Реши задание на изображении

На фото два полных варианта — А1 и А2. Нижние Б1/Б2 обрезаны, поэтому их полностью решить нельзя.

Краткие ответы

Вариант А1

1. а) \(x=3\); б) \(x=1\); в) \(x=-1;\ 2\).
2. а) \(x\in[-3;3]\); б) \(x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\); в) \(x\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)\).
3. \((1;2)\), \((2;1)\).
4. \(y_{\max}=3\) при \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Вариант А2

1. а) \(x=3\); б) \(x=1\); в) \(x=-1;\ 2\).
2. а) \(x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty)\); б) \(x\in\left(-\frac12;1\right)\); в) \(x\in(-\infty;-4]\cup[0;+\infty)\).
3. \((1;3)\), \((3;1)\).
4. \(y_{\min}=\frac13\) при \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Как получены ответы

1. Показательные уравнения

Главный приём: привести степени к одному основанию, тогда
\[ a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)\quad (a>0,\ a\ne1). \]

А1 а)
\[ \left(\frac15\right)^{3-2x}=5^{-(3-2x)}=5^{2x-3},\qquad 125=5^3. \] Значит, \[ 2x-3=3\Rightarrow x=3. \]

А2 а) \[ \left(\frac13\right)^{4-2x}=3^{2x-4},\qquad 9=3^2, \] \[ 2x-4=2\Rightarrow x=3. \]

А1 б) \[ 3^{x+3}-3^x=3^x(3^3-1)=3^x\cdot26=78, \] \[ 3^x=3\Rightarrow x=1. \]

А2 б) \[ 5^{x+2}+5^x=5^x(5^2+1)=5^x\cdot26=130, \] \[ 5^x=5\Rightarrow x=1. \]

А1 в) Замена \(t=2^x>0\): \[ 2^{2x+1}=2(2^x)^2=2t^2. \] Получаем \[ 2t^2-9t+4=0,\qquad D=81-32=49, \] \[ t=\frac{9\pm7}{4}=4;\ \frac12. \] Тогда \[ 2^x=4\Rightarrow x=2,\qquad 2^x=\frac12\Rightarrow x=-1. \]

А2 в) Замена \(t=3^x>0\): \[ 3^{2x+1}=3(3^x)^2=3t^2. \] \[ 3t^2-28t+9=0,\qquad D=784-108=676, \] \[ t=\frac{28\pm26}{6}=9;\ \frac13. \] \[ 3^x=9\Rightarrow x=2,\qquad 3^x=\frac13\Rightarrow x=-1. \]

2. Показательные неравенства

Важно: если основание \(>1\), знак неравенства для показателей сохраняется; если основание \(<1\), знак меняется.

А1 а) \(0{,}4<1\), поэтому: \[ 9-x^2\ge0\Rightarrow x^2\le9\Rightarrow -3\le x\le3. \]

А2 а) \(0{,}8<1\), поэтому: \[ 2x-x^2\le0\Rightarrow x^2-2x\ge0\Rightarrow x\le0\text{ или }x\ge2. \]

А1 б) \[ 2^x\cdot5^x=10^x,\qquad 0{,}01=10^{-2}. \] \[ 10^x<10^{x^2-2}. \] Так как \(10>1\), \[ x<x^2-2\Rightarrow x^2-x-2>0, \] \[ (x-2)(x+1)>0\Rightarrow x<-1\text{ или }x>2. \]

А2 б) \[ 2^x\cdot3^x=6^x, \] \[ 6^{2x^2}\cdot\frac16=6^{2x^2-1}. \] Значит, \[ x>2x^2-1\Rightarrow 2x^2-x-1<0. \] \[ (2x+1)(x-1)<0\Rightarrow -\frac12<x<1. \]

А1 в) \[ (5^{x-1})^x=5^{x^2-x}. \] Обозначим \(E=x^2-x\). Сравниваем \(3^E\) и \(5^E\). При \(E\ge0\) верно \(3^E\le5^E\), а при \(E<0\) — наоборот. Поэтому \[ x^2-x\ge0\Rightarrow x(x-1)\ge0, \] \[ x\le0\text{ или }x\ge1. \]

А2 в) \[ (2^x)^{x+4}=2^{x^2+4x}. \] Аналогично: \[ 7^E\ge2^E\iff E\ge0, \] где \(E=x^2+4x\). Тогда \[ x(x+4)\ge0\Rightarrow x\le-4\text{ или }x\ge0. \]

3. Системы уравнений

А1 \[ x+y=3\Rightarrow 3^x\cdot3^y=3^3=27. \] Пусть \(u=3^x,\ v=3^y\). Тогда \[ u+v=12,\qquad uv=27. \] Корни \(u,v\) — это \(3\) и \(9\). Значит, \[ (x,y)=(1;2)\text{ или }(2;1). \]

А2 \[ x+y=4\Rightarrow 2^x\cdot2^y=2^4=16. \] Пусть \(u=2^x,\ v=2^y\): \[ u+v=10,\qquad uv=16. \] Отсюда \(u,v=2;8\). Значит, \[ (x,y)=(1;3)\text{ или }(3;1). \]

4. Наибольшее и наименьшее значения

Так как \[ -1\le\sin x\le1, \] для \(y=\left(\frac13\right)^{\sin x}\) основание меньше \(1\), поэтому функция убывает с ростом показателя.

А1: наибольшее значение при \(\sin x=-1\): \[ y_{\max}=\left(\frac13\right)^{-1}=3, \] \[ \sin x=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k. \]

А2: наименьшее значение при \(\sin x=1\): \[ y_{\min}=\left(\frac13\right)^1=\frac13, \] \[ \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Что запомнить: сначала приводим степени к одному основанию; при замене \(t=a^x\) обязательно \(t>0\); в неравенствах следим за основанием; в системах удобно использовать произведение \(a^{x+y}\).