выполни 129 и 127

Считаем в радианах.

127 — ответы

\[ \text{а) }\frac{\pi}{2};\qquad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\qquad \text{в) }\frac{\pi}{2};\qquad \text{г) }0. \]

Как считали

Используем табличные значения обратных функций:

\[ \arccos(-0{,}5)=\frac{2\pi}{3},\quad \arcsin(-0{,}5)=-\frac{\pi}{6}. \]

Тогда:

\[ \text{а) }\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =\frac{4\pi}{6}-\frac{\pi}{6} =\frac{3\pi}{6} =\frac{\pi}{2}. \]

\[ \text{б) }\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arcsin(-1) =\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{5\pi}{4}. \]

\[ \text{в) }\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{2}. \]

\[ \text{г) }\arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0. \]

129 — ответы

\[ \text{а) }\arcsin\left(-\frac12\right)<\arccos\left(-\frac12\right); \]

\[ \text{б) }\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)<\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right); \]

\[ \text{в) }\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)<\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right); \]

\[ \text{г) }\arcsin(-1)<\arccos(-1). \]

Почему

\[ \arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right], \] поэтому при отрицательном \(x\) значение \(\arcsin x\) отрицательное.

А \[ \arccos x\in[0;\pi], \] причём для отрицательного \(x\) \[ \arccos x>\frac{\pi}{2}. \]

То есть слева всегда отрицательное число, справа — положительное, значит, левое значение меньше.

Проверка по значениям:

\[ -\frac{\pi}{6}<\frac{2\pi}{3},\quad -\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4},\quad -\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6},\quad -\frac{\pi}{2}<\pi. \]