Номер 20

\[ (x^2-16)^2+(x^2-5x-36)^2=0 \]

Сумма квадратов равна нулю, только если оба выражения равны нулю:

\[ x^2-16=0 \Rightarrow x=\pm4 \]

\[ x^2-5x-36=0=(x-9)(x+4)\Rightarrow x=9 \text{ или } x=-4 \]

Общий корень:

\[ \boxed{x=-4} \]

Объяснение

Уравнение:

\[ (x^2-16)^2+(x^2-5x-36)^2=0 \]

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть

\[ a^2\ge 0. \]

Сумма двух квадратов может равняться нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

\[ A^2+B^2=0 \iff A=0 \text{ и } B=0. \]

Поэтому получаем систему:

\[ \begin{cases} x^2-16=0,\\ x^2-5x-36=0. \end{cases} \]

Решим первое уравнение:

\[ x^2-16=0, \]

\[ x^2=16, \]

\[ x=\pm 4. \]

Теперь решим второе:

\[ x^2-5x-36=0. \]

Разложим на множители:

\[ x^2-5x-36=(x-9)(x+4). \]

Значит,

\[ x=9 \quad \text{или} \quad x=-4. \]

Теперь найдём общий корень двух уравнений:

• из первого: \(x=-4\) или \(x=4\);
• из второго: \(x=-4\) или \(x=9\).

Общий корень только один:

\[ \boxed{x=-4}. \]

Проверка

Подставим \(x=-4\):

\[ x^2-16=16-16=0, \]

\[ x^2-5x-36=16+20-36=0. \]

Оба выражения равны нулю, значит уравнение выполнено.

Ответ: \(\boxed{-4}\).