мага дайар реферат жазып берчи 19 параграф 73 менен 74 мисалды чыгарып берчи анан алардын кайсы формула менен жазды ошону дагы

Төмөндө §19 боюнча кыскача реферат, 73–74-көнүгүүлөрдүн чыгарылышы жана колдонулган формулалар. Бардык жооптордо \(k\in\mathbb Z\).

19-параграф: кыскача реферат

Тема: тригонометриялык теңдемелерди чыгаруу.

Тригонометриялык теңдеме — курамында белгисиз бурчтун тригонометриялык функциялары катышкан теңдеме. Аларды чыгаруунун негизги максаты — теңдемени жөнөкөй \(\sin t=a\), \(\cos t=a\), \(\operatorname{tg}t=a\), \(\operatorname{ctg}t=a\) түрлөрүнө келтирип, жалпы чечимди жазуу.

Негизги ыкмалар:

1. тригонометриялык барабардыктарды колдонуп түрлөндүрүү;
2. жаңы белгисиз киргизүү — алмаштыруу;
3. көбөйтүүчүлөргө ажыратуу;
4. кош бурч жана жарым бурч формулаларын колдонуу;
5. \(\operatorname{tg}\), \(\operatorname{ctg}\) үчүн аныкталуу областы текшерүү;
6. алынган жоопту \(k\in\mathbb Z\) аркылуу жалпы түрдө жазуу.

Негизги формулалар

\[ \sin t=a,\ |a|\le1:\quad t=(-1)^k\arcsin a+\pi k \]

\[ \cos t=a,\ |a|\le1:\quad t=\pm\arccos a+2\pi k \]

\[ \operatorname{tg}t=a:\quad t=\arctan a+\pi k \]

\[ \operatorname{ctg}t=a:\quad t=\operatorname{arcctg}a+\pi k \]

\[ \sin 2t=2\sin t\cos t,\qquad \cos 2t=2\cos^2t-1=1-2\sin^2t \]

\[ \sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2} \]

Универсал алмаштыруу: \[ t=\operatorname{tg}\frac x2,\quad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \]

73-көнүгүү

а)
\[ 2\sin(2x-1)=1\Rightarrow \sin(2x-1)=\frac12. \] \(\sin t=a\) формуласы боюнча: \[ 2x-1=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k. \] \[ \boxed{x=\frac12+(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}} \]

б)
\[ 3\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1 \Rightarrow \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac13. \] \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{6}\pm\arccos\frac13+2\pi k} \]

в)
\[ \operatorname{tg}3x=10^6. \] \[ 3x=\arctan(10^6)+\pi k, \] \[ \boxed{x=\frac{\arctan(10^6)+\pi k}{3}} \] Бул жерде \(\operatorname{tg}t=a\) формуласы колдонулду.

г)
\[ \cos^2x=-1. \] \(\cos^2x\ge0\) болгондуктан: \[ \boxed{\text{чечими жок}} \]

д)
\[ \sin(3x-1)=\frac{\sqrt3}{2}. \] \[ 3x-1=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k, \] \[ \boxed{x=\frac13+(-1)^k\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}} \]

е)
\[ \sin 9x=0{,}5=\frac12. \] \[ 9x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k, \] \[ \boxed{x=(-1)^k\frac{\pi}{54}+\frac{\pi k}{9}} \]

ж)
\[ \operatorname{ctg}12x=-\frac{\sqrt3}{3}. \] \[ 12x=\frac{2\pi}{3}+\pi k, \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{12}} \] Бул жерде \(\operatorname{ctg}t=a\) формуласы колдонулду.

з)
\[ \sin\left(8x+\frac{\pi}{6}\right)=-1. \] \[ 8x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \] \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{4}} \]

и)
\[ \cos^2(3x-60^\circ)=0{,}75=\frac34. \] \[ 3x-60^\circ=\pm30^\circ+180^\circ k. \] Демек: \[ \boxed{x=30^\circ+60^\circ k} \] же \[ \boxed{x=10^\circ+60^\circ k} \] Радиан менен: \[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3} \quad \text{же}\quad x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}. \]

74-көнүгүү

а)
\[ \sin x+2\cos x=1. \] Универсал алмаштыруу: \(t=\operatorname{tg}\frac x2\). \[ \frac{2t+2(1-t^2)}{1+t^2}=1 \] \[ 3t^2-2t-1=0, \] \[ t=1,\qquad t=-\frac13. \] Демек: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k} \] же \[ \boxed{x=-2\arctan\frac13+2\pi k} \]

б)
\[ \sin 2x=(\cos x-\sin x)^2. \] Оң жагын ачабыз: \[ (\cos x-\sin x)^2=1-\sin 2x. \] \[ \sin 2x=1-\sin 2x \Rightarrow 2\sin 2x=1 \Rightarrow \sin 2x=\frac12. \] \[ 2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k, \] \[ \boxed{x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}} \]

в)
\[ \operatorname{tg}2x-\operatorname{ctg}3x=0. \] \[ \operatorname{tg}2x=\operatorname{ctg}3x. \] \(\operatorname{ctg}3x=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)\) формуласын колдонобуз: \[ 2x=\frac{\pi}{2}-3x+\pi k, \] \[ 5x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}} \] Бул жерде \(\cos2x\ne0\), \(\sin3x\ne0\) чектөөлөрү текшерилет; табылган тамырлар аларды бузбайт.

г)
\[ 8\sin^2\frac x2+3\sin x-4=0. \] \[ \sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2} \] формуласын колдонобуз: \[ 4(1-\cos x)+3\sin x-4=0, \] \[ 3\sin x-4\cos x=0, \] \[ 3\sin x=4\cos x. \] \(\cos x\ne0\) болгондуктан: \[ \operatorname{tg}x=\frac43, \] \[ \boxed{x=\arctan\frac43+\pi k} \]

д)
\[ \cos^2\frac x2+\cos x+\cos2x=0. \] \(u=\cos x\) деп белгилейбиз. Анда: \[ \cos^2\frac x2=\frac{1+u}{2},\qquad \cos2x=2u^2-1. \] \[ \frac{1+u}{2}+u+2u^2-1=0, \] \[ 4u^2+3u-1=0. \] \[ u=\frac14,\qquad u=-1. \] Демек: \[ \boxed{x=\pm\arccos\frac14+2\pi k} \] же \[ \boxed{x=\pi+2\pi k} \]

Кыскача жыйынтык: кайсы формулалар колдонулду

• 73тө: \(\sin t=a\), \(\cos t=a\), \(\operatorname{tg}t=a\), \(\operatorname{ctg}t=a\) жөнөкөй формулалары жана \(\cos^2t\ge0\) касиети.
• 74(а): универсал алмаштыруу \(t=\operatorname{tg}\frac x2\).
• 74(б): \(\sin2x=2\sin x\cos x\) жана негизги окшоштук.
• 74(в): \(\operatorname{ctg}y=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-y\right)\).
• 74(г): жарым бурч формуласы \(\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2}\).
• 74(д): жарым бурч, кош бурч жана квадраттык теңдеме.

Текшерүү: 73(а) үчүн \(k=0\): \(x=\frac12+\frac{\pi}{12}\) болгондо \(2x-1=\frac{\pi}{6}\), \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\) — туура. 74(д) үчүн \(x=\pi\): \(0-1+1=0\) — туура.