мага дайар реферат жазып берчи 19 параграф 73 менен 74 мисалды чыгарып берчи анан алардын кайсы формула менен жазды ошону дагы

Кыскача: §19дун негизги идеясы — тригонометриялык теңдемени жөнөкөй \( \sin t=a,\ \cos t=a,\ \tg t=a,\ \ctg t=a \) түрүнө келтирип, жалпы чыгарылыш формулалары боюнча чыгаруу.

§19 боюнча кыска реферат

Тригонометриялык теңдеме — курамында белгисиз бурчтун тригонометриялык функциясы бар теңдеме. Аны чыгаруу — теңдемени канааттандырган бардык бурчтарды табуу. Негизги ыкмалар: жаңы белгисизди киргизүү (\(z=\sin x\), \(z=\cos x\) ж.б.), тригонометриялык окшоштуктар аркылуу бир гана функцияга келтирүү, \(t=\tg\frac{x}{2}\) универсал алмаштыруусун колдонуу жана көбөйтүүчүлөргө ажыратуу. Тангенс жана котангенс катышкан теңдемелерде бөлүүчү нөлгө айланбашын текшерүү керек.

Негизги формулалар

\[ \sin t=a,\ |a|\le1:\quad t=(-1)^n\arcsin a+\pi n; \] \[ \cos t=a,\ |a|\le1:\quad t=\pm\arccos a+2\pi n; \] \[ \tg t=a:\quad t=\operatorname{arctg}a+\pi n; \] \[ \ctg t=a:\quad t=\operatorname{arcctg}a+\pi n. \] Мында \(n\in\mathbb Z\). Градус менен берилсе, \(\pi\) ордуна \(180^\circ\), \(2\pi\) ордуна \(360^\circ\) алынат.

73-мисал

а) \(2\sin(2x-1)=1\) \[ \sin(2x-1)=\frac12,\quad x=\frac12+(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \]

б) \(3\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\) \[ x=-\frac{\pi}{6}\pm\arccos\frac13+2\pi n. \]

в) \(\tg3x=10^6\) \[ x=\frac13\operatorname{arctg}(10^6)+\frac{\pi n}{3}. \]

г) \(\cos(x^2)=-1\) \[ x^2=(2n+1)\pi,\quad x=\pm\sqrt{(2n+1)\pi},\quad n=0,1,2,\ldots \] Эгер китебиңде \(\cos^2x=-1\) деп берилсе, анда чыгарылышы жок.

д) \(\sin(3x-1)=-\frac{\sqrt3}{2}\) \[ x=\frac13+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}. \]

е) \(\sin9x=0,5\) \[ x=(-1)^n\frac{\pi}{54}+\frac{\pi n}{9}. \]

ж) \(\ctg12x=-\frac{\sqrt3}{3}\) \[ 12x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{12}. \]

з) \(\sin\left(8x+\frac{\pi}{6}\right)=-1\) \[ 8x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4}. \]

и) \(\cos^2(3x-60^\circ)=0,75\) \[ 3x-60^\circ=\pm30^\circ+180^\circ n, \] \[ x=20^\circ\pm10^\circ+60^\circ n, \] б.а. \[ x=10^\circ+60^\circ n \quad \text{же} \quad x=30^\circ+60^\circ n. \]

74-мисал

а) \(\sin x+2\cos x=1\)

\(t=\tg\frac{x}{2}\) алмаштыруусун колдонобуз. \(x=\pi+2\pi n\) болгондон кийин текшеребиз: ал чыгарылыш эмес. Анда \[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \] Теңдеме: \[ \frac{2t}{1+t^2}+2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}=1, \] \[ 3t^2-2t-1=0,\quad t=1,\quad t=-\frac13. \] Демек, \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \] же \[ x=-2\operatorname{arctg}\frac13+2\pi n \quad\left(=-\operatorname{arctg}\frac34+2\pi n\right). \]

б) \(\sin2x=(\cos x-\sin x)^2\)

\[ (\cos x-\sin x)^2=1-\sin2x, \] \[ \sin2x=1-\sin2x,\quad 2\sin2x=1,\quad \sin2x=\frac12. \] \[ x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \]

в) \(\tg2x-\ctg3x=0\)

\[ \tg2x=\tg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right), \] \[ 2x=\frac{\pi}{2}-3x+\pi n, \] \[ 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}. \] Бул чыгарылыштарда \(\tg2x\) жана \(\ctg3x\) аныкталган.

г) \(8\sin^2\frac{x}{2}+3\sin x-4=0\)

\[ \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \] болгондуктан: \[ 4(1-\cos x)+3\sin x-4=0, \] \[ 3\sin x-4\cos x=0,\quad \tg x=\frac43. \] \[ x=\operatorname{arctg}\frac43+\pi n. \]

д) \(\cos^2\frac{x}{2}+\cos x+\cos2x=0\)

\[ \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2},\quad \cos2x=2\cos^2x-1. \] \(y=\cos x\) деп белгилесек: \[ \frac{1+y}{2}+y+2y^2-1=0, \] \[ 4y^2+3y-1=0,\quad y=\frac14,\quad y=-1. \] Демек, \[ x=\pm\arccos\frac14+2\pi n \] жана \[ x=\pi+2\pi n. \]

Кайсы формулалар колдонулду

• 73: жөнөкөй теңдемелер үчүн \(\sin t=a\), \(\cos t=a\), \(\tg t=a\), \(\ctg t=a\) жалпы чыгарылыш формулалары; 73(и) үчүн \(\cos^2\theta=\frac34\Rightarrow \cos\theta=\pm\frac{\sqrt3}{2}\).
• 74(а): универсал алмаштыруу \(t=\tg\frac{x}{2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\).
• 74(б): \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), \(\sin^2x+\cos^2x=1\), \(\sin2x=2\sin x\cos x\).
• 74(в): \(\ctg\alpha=\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\).
• 74(г): \(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\).
• 74(д): \(\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\), \(\cos2x=2\cos^2x-1\).