Геометрия 9 класс Мерзляк номер 329
Краткий ответ: сторона квадрата равна \(\boxed{8\sqrt2\ \text{см}}\) (примерно \(11{,}3\) см).
Решение по шагам.
Речь о задаче: правильный шестиугольник вписан в окружность, его периметр равен \(48\) см. Найти сторону квадрата, вписанного в эту же окружность.
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу: \[ a_6=R. \] Периметр: \[ 6a_6=48 \quad\Rightarrow\quad a_6=8. \] Значит, \[ R=8\text{ см}. \]
Для квадрата, вписанного в окружность радиуса \(R\), диагональ равна диаметру: \[ a_4\sqrt2=2R. \] Отсюда \[ a_4=\frac{2R}{\sqrt2}=R\sqrt2. \] Подставляем \(R=8\): \[ a_4=8\sqrt2\text{ см}. \]
Проверка:
Радиус окружности \(8\) см. Диагональ квадрата:
\[
8\sqrt2\cdot\sqrt2=16\text{ см},
\]
а диаметр:
\[
2R=16\text{ см}.
\]
Всё сходится.
Принцип: для правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(R\), \[ a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}. \] Для шестиугольника \(a_6=R\), для квадрата \(a_4=R\sqrt2\).
Обсуждение
2 сообщенияА чертёж где?
Вот чертёж — схематично, без точного масштаба. Окружность одна и та же, но для наглядности фигуры показаны отдельно.
1. Правильный шестиугольник в окружности
A
/ \
F B
| O |
E C
\ /
D
- \(A,B,C,D,E,F\) лежат на окружности с центром \(O\).
- \(OA=OB=R=8\) см.
- \(AB\) — сторона шестиугольника, \(AB=8\) см.
2. Квадрат в той же окружности
K
/ | \
N---O---L
\ | /
M
- \(K,L,M,N\) лежат на той же окружности.
- \(KM\) и \(LN\) — диаметры: \[ KM=LN=2R=16\text{ см}. \]
- Сторона квадрата: \[ KL=8\sqrt2\text{ см}. \]
Как построить точно:
- Начерти окружность радиусом \(8\) см.
- Для шестиугольника отложи на окружности \(6\) точек через \(60^\circ\).
- Для квадрата — \(4\) точки через \(90^\circ\).
- Соедини соседние точки — получишь нужные фигуры.
