Реши задание на изображении

На фото страница с номерами 2.85–2.94 и проверочной работой. Решения:

2.85

а) \(a=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot19,\ b=2\cdot3\cdot11\cdot13\)
Общие множители: \(2\cdot3=6\).
НОД = 6.

б) \(a=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot11,\ b=3\cdot5\cdot5\cdot7\)
Общие множители: \(3\cdot5\cdot5=75\).
НОД = 75.

2.86

а) \(975\) и \(750\):
\(975=3\cdot5^2\cdot13,\quad 750=2\cdot3\cdot5^3\)
НОД = 75.

б) \(572\) и \(440\):
\(572=2^2\cdot11\cdot13,\quad 440=2^3\cdot5\cdot11\)
НОД = 44.

в) \(80,\ 140,\ 56\):
\(80=2^4\cdot5,\quad 140=2^2\cdot5\cdot7,\quad 56=2^3\cdot7\)
НОД = 4.

г) \(170,\ 306,\ 255\):
\(170=2\cdot5\cdot17,\quad 306=2\cdot3^2\cdot17,\quad 255=3\cdot5\cdot17\)
НОД = 17.

2.87

\(675=3^3\cdot5^2,\quad 896=2^7\cdot7\)
Общих простых множителей нет.
Да, числа взаимно простые; их НОД = 1.

2.88

а) \(\frac{12}{18}=\frac23\)
б) \(\frac{24}{36}=\frac23\)
в) \(\frac{72}{90}=\frac45\)
г) \(\frac{28}{125}\) уже несократима.

2.89

Если лучи \(BA\) и \(BD\) лежат по одну сторону от луча \(BC\), то
\[ \angle ABD=80^\circ-60^\circ=20^\circ. \] Если по разные стороны, то
\[ \angle ABD=80^\circ+60^\circ=140^\circ. \] Задача имеет два решения: \(20^\circ\) и \(140^\circ\).

2.90

Пусть на финансово-экономическом факультете \(x\) человек.
Тогда на менеджменте \(3x\), на юридическом \(2x\).
\[ x+3x+2x=540 \Rightarrow 6x=540 \Rightarrow x=90. \] Финансово-экономический — 90 человек, юридический — 180, менеджмент — 270.

2.91

Одна сторона: \[ a=\frac29\cdot81=18\text{ см}. \] Полупериметр: \[ a+b=\frac{81}{2}=40{,}5 \Rightarrow b=40{,}5-18=22{,}5. \] Площадь: \[ S=18\cdot22{,}5=405\text{ см}^2. \] Ответ: \(405\text{ см}^2\).

2.92

\[ 0{,}5=\frac12,\qquad 0{,}24=\frac{6}{25},\qquad 0{,}75=\frac34. \]

2.93

\[ \frac15=0{,}2,\qquad \frac{11}{125}=0{,}088,\qquad \frac{8}{20}=0{,}4,\qquad 5\frac12=5{,}5. \]

2.94

а) \[ 54{,}54:5{,}4=10{,}1; \] \[ 78{,}9+(65{,}65-5{,}5\cdot10{,}1)\cdot1{,}3 =78{,}9+10{,}1\cdot1{,}3 =78{,}9+13{,}13 =92{,}03. \] Ответ: \(92{,}03\).

б) \[ 95{,}95:9{,}5=10{,}1; \] \[ 36{,}9+(76{,}76-6{,}6\cdot10{,}1)\cdot27{,}4 =36{,}9+10{,}1\cdot27{,}4 =36{,}9+276{,}74 =313{,}64. \] Ответ: \(313{,}64\).

Проверочная работа

1. Взаимно простые:
б) 29 и 34; г) 72 и 737 — у них нет общих делителей, кроме 1.

2.
\[ 2\cdot2\cdot5\cdot7 \quad\text{и}\quad 2\cdot7\cdot11 \] Общие множители: \(2\cdot7=14\).
НОД = 14.

3.
а) \(34\) и \(56\): НОД = 2;
б) \(45\) и \(65\): НОД = 5;
в) \(102\) и \(204\): НОД = 102;
г) \(1005\) и \(960\): НОД = 15.

4. \[ 1440=2^5\cdot3^2\cdot5,\qquad 240=2^4\cdot3\cdot5. \] \[ 1440:240=6. \] В 6 раз.

5. Дробь \(\frac{m}{15}\) правильная, значит \(m=1,2,\ldots,14\).
Нужно, чтобы \(\gcd(m,15)=1\), то есть \(m\) не делилось на 3 и на 5.
Подходят: \[ m=1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 11,\ 13,\ 14. \]