Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как решать:

Уравнение приведённое, то есть коэффициент при \(x^2\) равен \(1\):

\[ x^2-5x+6=0 \]

Ищем два числа, которые:

• в произведении дают \(6\);
• в сумме дают \(5\).

Это \(2\) и \(3\):

\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5 \]

Поэтому можно разложить на множители:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Значит:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]

Проверка:

При \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

При \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба значения подходят.

Принцип: для уравнения вида \(x^2+px+q=0\) ищут два числа, которые в сумме дают \(-p\), а в произведении — \(q\). Если такие числа \(m\) и \(n\), то

\[ x^2+px+q=(x-m)(x-n) \]

и корни равны \(m\) и \(n\).