номер 194 докажите, что периметр треугольник стороны которого являются средними линиями треугольника АВС, равен половине периметра треугольника АВС

Краткий ответ: да, периметр такого треугольника равен половине периметра \(ABC\).

Пусть \(D,E,F\) — середины сторон \(AB,BC,CA\) треугольника \(ABC\). Средние линии — это отрезки \(DE, EF, FD\); они и образуют треугольник \(DEF\).

По свойству средней линии треугольника: \[ DE=\frac{AC}{2},\qquad EF=\frac{AB}{2},\qquad FD=\frac{BC}{2}. \] Тогда \[ P_{DEF}=DE+EF+FD =\frac{AC}{2}+\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2} =\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{P_{ABC}}{2}. \]

Проверка: если стороны \(ABC\) равны \(6,8,10\), то \(P_{ABC}=24\). Средние линии равны \(3,4,5\), их периметр \(12\), то есть ровно половина.

Главная идея: каждая сторона треугольника из средних линий вдвое меньше соответствующей стороны исходного треугольника, поэтому и сумма всех сторон уменьшается в 2 раза.