Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.
\]
Как это получить:
Разложим квадратный трёхчлен на множители. Нужны два числа, которые:
- в сумме дают \(5\),
- в произведении дают \(6\).
Это \(2\) и \(3\). Поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Значит: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Всё верно.
Принцип для похожих уравнений:
Если уравнение имеет вид
\[
x^2+px+q=0,
\]
можно подобрать два числа, которые в сумме дают \(-p\), а в произведении — \(q\). Тогда это корни уравнения. Если подобрать трудно, используйте дискриминант.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x
Смотри, \(x\) не появился заново — он всё время был в исходном уравнении. Мы просто записали выражение \(x^2-5x+6\) в другом виде.
Было:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Мы разложили левую часть на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Проверим раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
То есть это одно и то же выражение, просто записанное как произведение двух скобок. Поэтому уравнение можно переписать так:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Теперь важный момент: произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ A\cdot B=0 \quad\Rightarrow\quad A=0 \text{ или } B=0 \]
В нашем случае множители — это скобки \((x-2)\) и \((x-3)\). Значит:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Решаем каждое простенькое уравнение:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
\[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
То есть \(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Если \(x=2\), то первая скобка превращается в ноль:
\[ 2-2=0 \]
Если \(x=3\), то в ноль превращается вторая скобка:
\[ 3-3=0 \]
Поэтому оба числа подходят.
Коротко цепочка такая:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Ответ: \(\boxed{2;\ 3}\).
