Реши задание на изображении
На фото видны номера 307–311. Пункт 307 в) обрезан, поэтому его решить по этому фото нельзя.
Краткие ответы
307.
а) \(x=\dfrac{2}{3}\);
б) \(x=0\).
308.
а) \(x=88\);
б) \(x=\dfrac{101}{5}=20{,}2\);
в) \(x=83\);
г) \(x=-\dfrac{193}{6}=-32\dfrac{1}{6}\).
309.
Значение выражения: \(1453{,}125\).
310.
а) \(|10|=10;\ |0{,}3|=0{,}3;\ |0|=0;\ |-2{,}7|=2{,}7;\ |-9|=9\).
б)
\(|x|=6 \Rightarrow x=\pm 6\);
\(|x|=3{,}2 \Rightarrow x=\pm 3{,}2\);
\(|x|=0 \Rightarrow x=0\).
311.
а) \(a\);
б) \(-c\);
в) \(a^2\);
г) \(a^3\);
д) \(-a^3\).
Как решать: главный принцип
Для уравнений с квадратным корнем:
\[ \sqrt{t}=k \]
сначала нужно уединить корень, а затем возвести обе части в квадрат:
\[ t=k^2 \]
При этом важно, что \(k\ge 0\), потому что квадратный корень не может быть отрицательным. После решения лучше сделать проверку.
307
а)
\[
\sqrt{3x-1}=1
\]
\[
3x-1=1
\]
\[
3x=2
\]
\[
x=\frac23
\]
Проверка: \(\sqrt{3\cdot \frac23-1}=\sqrt{2-1}=1\).
б)
\[
\sqrt{6x+4}=2
\]
\[
6x+4=4
\]
\[
6x=0
\]
\[
x=0
\]
Проверка: \(\sqrt{4}=2\).
308
а)
\[
\sqrt{12+x}-7=3
\]
\[
\sqrt{12+x}=10
\]
\[
12+x=100
\]
\[
x=88
\]
б)
\[
\sqrt{5x-1}-4=6
\]
\[
\sqrt{5x-1}=10
\]
\[
5x-1=100
\]
\[
5x=101
\]
\[
x=\frac{101}{5}=20{,}2
\]
в)
\[
16-\sqrt{x-2}=7
\]
\[
\sqrt{x-2}=9
\]
\[
x-2=81
\]
\[
x=83
\]
г)
\[
12-\sqrt{3-6x}=-2
\]
\[
\sqrt{3-6x}=14
\]
\[
3-6x=196
\]
\[
-6x=193
\]
\[
x=-\frac{193}{6}=-32\frac16
\]
309
Упростим выражение:
\[ 1{,}5x^3y^2\cdot 6{,}2xy=9{,}3x^4y^3 \]
Подставим \(x=1{,}25=\frac54\), \(y=4\):
\[ x^4y^3=\left(\frac54\right)^4\cdot 4^3 \]
\[ =\frac{625}{256}\cdot 64=\frac{625}{4}=156{,}25 \]
Тогда:
\[ 9{,}3\cdot 156{,}25=1453{,}125 \]
310
Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он всегда неотрицательный.
а)
\[
|10|=10,\quad |0{,}3|=0{,}3,\quad |0|=0
\]
\[
|-2{,}7|=2{,}7,\quad |-9|=9
\]
б)
Уравнение \(|x|=a\) при \(a>0\) имеет два корня: \(x=a\) и \(x=-a\).
\[ |x|=6 \Rightarrow x=\pm 6 \] \[ |x|=3{,}2 \Rightarrow x=\pm 3{,}2 \] \[ |x|=0 \Rightarrow x=0 \]
311
а) Если \(a>0\), то \(|a|=a\).
б) Если \(c<0\), то число отрицательное, значит:
\[ |c|=-c \]
в) \(a^2\ge 0\) всегда, поэтому:
\[ |a^2|=a^2 \]
г) Если \(a>0\), то \(a^3>0\), значит:
\[ |a^3|=a^3 \]
д) Если \(a<0\), то \(a^3<0\), поэтому:
\[ |a^3|=-a^3 \]
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни
Объясню общий принцип, а потом коротко — по каждому типу заданий.
1. Уравнения с квадратным корнем (307, 308)
Главная идея:
\[ \sqrt{t}=k \quad \Rightarrow \quad t=k^2 \]
Но сначала корень нужно оставить одного в одной части уравнения. Например:
\[ \sqrt{12+x}-7=3 \]
Переносим \(-7\) вправо:
\[ \sqrt{12+x}=10 \]
Теперь возводим обе части в квадрат:
\[ 12+x=100 \]
\[ x=88 \]
Почему можно возводить в квадрат? Потому что если два числа равны, то их квадраты тоже равны. Но есть важный момент: после возведения в квадрат иногда появляются лишние корни. Поэтому в конце нужна проверка.
Проверяем:
\[ \sqrt{12+88}-7=\sqrt{100}-7=10-7=3 \]
Верно.
Аналогично в 308 г):
\[ 12-\sqrt{3-6x}=-2 \]
Сначала уединяем корень:
\[ -\sqrt{3-6x}=-14 \]
Умножаем на \(-1\):
\[ \sqrt{3-6x}=14 \]
Возводим в квадрат:
\[ 3-6x=196 \]
\[ -6x=193 \]
\[ x=-\frac{193}{6} \]
То есть во всех таких заданиях порядок один:
- Уединить корень.
- Возвести обе части в квадрат.
- Решить получившееся уравнение.
- Проверить корень.
В 307 и 308 после проверки все найденные корни подходят.
2. Упрощение выражения и подстановка (309)
Выражение:
\[ 1{,}5x^3y^2\cdot 6{,}2xy \]
Сначала перемножаем числа:
\[ 1{,}5\cdot 6{,}2=9{,}3 \]
Потом отдельно буквы. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[ x^3\cdot x=x^{3+1}=x^4 \]
\[ y^2\cdot y=y^{2+1}=y^3 \]
Получаем:
\[ 9{,}3x^4y^3 \]
Теперь подставляем \(x=1{,}25\), \(y=4\):
\[ x^4=(1{,}25)^4=\left(\frac54\right)^4=\frac{625}{256} \]
\[ y^3=4^3=64 \]
Умножаем:
\[ \frac{625}{256}\cdot 64=\frac{625}{4}=156{,}25 \]
И затем:
\[ 9{,}3\cdot 156{,}25=1453{,}125 \]
Смысл задания: сначала упростить выражение, а уже потом подставлять числа — так считать проще.
3. Модуль (310, 311)
Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицательный.
\[ |10|=10 \]
\[ |-9|=9 \]
Потому что и \(10\), и \(-9\) находятся на расстоянии \(10\) и \(9\) от нуля.
Уравнение:
\[ |x|=6 \]
означает: какое число находится на расстоянии \(6\) от нуля? Таких чисел два:
\[ x=6 \quad \text{или} \quad x=-6 \]
Поэтому:
\[ |x|=a,\quad a>0 \quad \Rightarrow \quad x=a \text{ или } x=-a \]
Если же:
\[ |x|=0 \]
то число только одно:
\[ x=0 \]
4. Модуль и степени (311)
Здесь важно следить за знаком числа.
Если \(a>0\), то \(a\) положительное, значит:
\[ |a|=a \]
Если \(c<0\), то \(c\) отрицательное. Модуль убирает минус:
\[ |c|=-c \]
Например, если \(c=-5\), то:
\[ |c|=|-5|=5=-(-5) \]
То есть формула \(|c|=-c\) работает именно потому, что \(c\) отрицательное.
Далее:
\[ |a^2|=a^2 \]
Потому что квадрат любого числа неотрицателен: \(a^2\ge 0\). Модуль у неотрицательного числа ничего не меняет.
А вот с кубом сложнее. Если \(a>0\), то:
\[ a^3>0 \Rightarrow |a^3|=a^3 \]
Если \(a<0\), то куб отрицательный:
\[ a^3<0 \Rightarrow |a^3|=-a^3 \]
Например, при \(a=-2\):
\[ a^3=-8 \]
\[ |a^3|=|-8|=8 \]
А по формуле:
\[ -a^3=-(-8)=8 \]
Совпадает.
Если нужно, могу разобрать один конкретный номер ещё подробнее — например, 308 г) или 311 д).
Я не поняла 310
Разберу 310 совсем по шагам.
Что такое модуль
Модуль числа \(|a|\) — это расстояние от числа \(a\) до нуля на числовой прямой.
Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда положительный или равен нулю.
Примеры:
- \(|10|=10\), потому что от \(0\) до \(10\) — \(10\) шагов;
- \(|-9|=9\), потому что от \(0\) до \(-9\) — тоже \(9\) шагов;
- \(|0|=0\), потому что \(0\) находится на нулевом расстоянии от нуля.
То есть минус внутри модуля убирается:
\[ |-2{,}7|=2{,}7 \]
Задание 310 а)
Просто находим расстояние до нуля:
\[ |10|=10 \]
\[ |0{,}3|=0{,}3 \]
\[ |0|=0 \]
\[ |-2{,}7|=2{,}7 \]
\[ |-9|=9 \]
Последние два: числа отрицательные, но расстояние от них до нуля положительное.
Задание 310 б)
Теперь наоборот: известен модуль, нужно найти число.
\[ |x|=6 \]
Это значит:
число \(x\) находится на расстоянии \(6\) от нуля.
На числовой прямой таких чисел два:
\[ x=6 \quad \text{или} \quad x=-6 \]
Проверка:
\[ |6|=6 \]
\[ |-6|=6 \]
Оба подходят.
Аналогично:
\[ |x|=3{,}2 \]
Значит:
\[ x=3{,}2 \quad \text{или} \quad x=-3{,}2 \]
И последнее:
\[ |x|=0 \]
Только число \(0\) находится на расстоянии \(0\) от нуля:
\[ x=0 \]
Коротко запомнить
Если
\[ |x|=a,\quad a>0, \]
то всегда два ответа:
\[ x=a \quad \text{или} \quad x=-a. \]
Если
\[ |x|=0, \]
то ответ один:
\[ x=0. \]
Например:
\[ |x|=4 \Rightarrow x=\pm 4, \]
то есть \(x=4\) или \(x=-4\).
