На примере множеств A = {2; 7}, B = {7; 9} и C = {2; 9} проверьте выполнение свойства включения относительно операции пересечения множеств A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[обрезано]а примере множеств \(A = \{2; 7\}\), \(B = \{7; 9\}\) и \(C = \{2; 9\}\) проверьте выполнение свойства включения относительно операции пересечения множеств \[A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C).\] Проверка для множеств \(A = \{2; 7\}\), \(B = \{7; 9\}\) и \(C = \{2; 9\}\): Левая часть равенства: \(A \cap (B \cup C) =\) [ ? ▾] Правая часть равенства: \((A \cap B) \cup (A \cap C) =\) [ ? ] [обрезано]
Левая часть равенства: \(A \cap (B \cup C) =\) [ ? ▾] Правая часть равенства: \((A \cap B) \cup (A \cap C) =\) [ ? ▴] Результат проверки для множеств \(A = \{2; 7\}\), \(B = \{7; 9\}\) и \(C = \{2; 9\}\): \(A \cap (B \cup C)\) [ ? ▾] \((A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Левая часть равенства: \(A \cap (B \cup C) =\) [ ? ▴] Правая часть равенства: \((A \cap B) \cup (A \cap C) =\) [ ? ▾] [Выпадающий список под левым выражением, варианты: \(\{2\}\), \(\{2; 9\}\), \(\{7; 9\}\), \(\{9\}\), \(\{2; 7\}\)] Результат проверки для [часть строки закрыта списком] \(A = \{2; 7\}\), \(B = \{7; 9\}\) и \(C = \{2; 9\}\): \(A \cap (B \cup C)\) [ ? ▾] \((A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Левая часть равенства: \(A \cap (B \cup C) =\) [ ? ▾] Правая часть равенства: \((A \cap B) \cup (A \cap C) =\) [ ? ▴] [Выпадающий список под правым выражением, варианты: \(\{7; 9\}\), \(\{2; 7; 9\}\), \(\{2; 7\}\), \(\{2\}\), \(\{2; 9\}\)] Результат проверки для множеств \(A = \{2; 7\}\), \(B = \{7; 9\}\) и \(C = \{2; 9\}\): \(A \cap (B \cup C)\) [ ? ▾] \((A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Краткий ответ
\[ A \cap (B \cup C) = \{2; 7\}, \qquad (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{2; 7\}. \]
Значит, \[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C), \] поэтому включение \(A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)\) выполняется. В строке «Результат проверки» выбирай \(=\): множества совпали. Если в списке для результата есть только \(\subset\) и \(\supset\), выбирай \(\subset\) — равенство тоже является включением.
Что выбрать в задании
- Левая часть: \(\{2; 7\}\).
- Правая часть: \(\{2; 7\}\).
- Результат проверки: \(=\).
Как считаем
Объединение \(B \cup C\) — все элементы, которые есть хотя бы в одном множестве: \[ B \cup C = \{7; 9\} \cup \{2; 9\} = \{2; 7; 9\}. \] Повторяющуюся 9 записываем один раз.
Левая часть — общие элементы \(A\) и \(B \cup C\): \[ A \cap (B \cup C) = \{2; 7\} \cap \{2; 7; 9\} = \{2; 7\}. \]
Правая часть: \[ A \cap B = \{2; 7\} \cap \{7; 9\} = \{7\}, \] \[ A \cap C = \{2; 7\} \cap \{2; 9\} = \{2\}. \] Тогда \[ (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{7\} \cup \{2\} = \{2; 7\}. \]
Слева \(\{2; 7\}\), справа \(\{2; 7\}\). Множества равны, поэтому \[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C). \]
Почему это работает всегда
Для любого элемента \(x\): \[ \begin{aligned} x \in A \cap (B \cup C) &\iff x \in A \text{ и } (x \in B \text{ или } x \in C)\\ &\iff (x \in A \text{ и } x \in B) \text{ или } (x \in A \text{ и } x \in C)\\ &\iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C). \end{aligned} \] Это распределительный закон: пересечение «разносится» по объединению. Поэтому равенство верно для любых множеств \(A\), \(B\), \(C\), а не только для этого примера.
Проверка по элементам
В \(A\) только два элемента — 2 и 7.
- \(2 \in A\) и \(2 \in C\), значит, \(2 \in A \cap C\), поэтому 2 есть в правой части. Кроме того, \(2 \in B \cup C\), поэтому 2 есть и в левой.
- \(7 \in A\) и \(7 \in B\), значит, \(7 \in A \cap B\), поэтому 7 есть в правой части. Кроме того, \(7 \in B \cup C\), поэтому 7 есть и в левой.
Других элементов в \(A\) нет, значит, обе части действительно равны \(\{2; 7\}\).
