1-вариант

Коротко по всем заданиям варианта:

1. \(M(3;2)\).
2. \((x+4)^2+(y-3)^2=25\) — если центром является \(C\), как указано на фото.
3. \(x+y-5=0\), или \(y=-x+5\).
4. \[ \begin{array}{c|c|c|c} \alpha & \sin\alpha & \cos\alpha & \tan\alpha\\ \hline 120^\circ & \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 & -\sqrt3\\ 135^\circ & \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & -1 \end{array} \]
5. а) \(\vec c=(-1;3)\); б) \(\vec c=(3;-7)\).

Как это получается

1. Середина отрезка.
Координаты середины — это средние арифметические координат концов: \[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right). \] Подставляем: \[ M\left(\frac{1+5}{2};\frac{-2+6}{2}\right)=(3;2). \]

2. Уравнение окружности.
Общий вид: \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, \] где \((x_0;y_0)\) — центр, \(r\) — радиус.
Центр \(C(-4;3)\). Радиус — расстояние от \(C\) до \(A\): \[ r=\sqrt{(-1+4)^2+(-1-3)^2} =\sqrt{9+16}=5. \] Значит: \[ (x+4)^2+(y-3)^2=25. \] Проверка: точка \(A(-1;-1)\): \[ (-1+4)^2+(-1-3)^2=9+16=25. \]

3. Уравнение прямой через две точки.
Угловой коэффициент: \[ k=\frac{2-3}{3-2}=-1. \] Используем формулу \(y-y_A=k(x-x_A)\): \[ y-3=-1(x-2), \] отсюда \[ y=-x+5, \] или \[ x+y-5=0. \]

4. Тригонометрические функции тупых углов.
Пользуемся формулами приведения: \[ \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha. \] Для \(120^\circ=180^\circ-60^\circ\): \[ \sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos120^\circ=-\frac12,\quad \tan120^\circ=-\sqrt3. \] Для \(135^\circ=180^\circ-45^\circ\): \[ \sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \tan135^\circ=-1. \]

5. Действия с векторами.
Сложение и вычитание выполняются покоординатно: \[ \vec c=\vec a+\vec b=(-2+1;\,5+(-2))=(-1;3). \] \[ \vec c=\vec b-\vec a=(1-(-2);\,-2-5)=(3;-7). \]