пример 48
Сверь числа и знаки с фото.
Производная № 48 а) \(f(x)=2x+1\), б) \(f(x)=\frac{1}{2}x-1\), в) \(f(x)=2x+1\), г) \(f(x)=-\frac{1}{2}x-1\), д) \(f(x)=\frac{1}{x}\).
Судя по заголовку на доске, нужно найти производные функций. На фото пункты а) и в) записаны одинаково.
Краткий ответ:
- а) \(f'(x)=2\);
- б) \(f'(x)=\frac{1}{2}\);
- в) \(f'(x)=2\);
- г) \(f'(x)=-\frac{1}{2}\);
- д) \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), при \(x\ne 0\).
Как это получается
- Для линейной функции \(f(x)=kx+b\) производная равна коэффициенту перед \(x\): \[ f'(x)=k. \] Это следует из определения производной: \[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{k(x+h)+b-(kx+b)}{h} =\frac{kh}{h}=k. \]
Поэтому:
- у \(2x+1\) коэффициент \(2\), значит \(f'(x)=2\);
- у \(\frac12x-1\) коэффициент \(\frac12\), значит \(f'(x)=\frac12\);
- у \(-\frac12x-1\) коэффициент \(-\frac12\), значит \(f'(x)=-\frac12\).
- Функцию \(\frac1x\) удобно записать как \(x^{-1}\). Производная степенной функции: \[ (x^n)'=nx^{n-1}. \] При \(n=-1\): \[ \left(\frac1x\right)'=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. \]
Проверка: у линейных функций производная постоянна и равна угловому коэффициенту прямой; например, у \(2x+1\) наклон равен \(2\), поэтому \(f'(x)=2\). Для \(\frac1x\) при \(x>0\) функция убывает, значит её производная должна быть отрицательной — так и получается.
Если в задании нужно было найти значение производной в конкретной точке, подставьте эту точку в найденное \(f'(x)\).
Обсуждение
2 сообщенияКыргызча
Сүрөттөгү 48-мисалдагы функциялардын туундуларын табабыз. Жазмада а) жана в) пункттары бирдей: \(f(x)=2x+1\).
Кыскача жооп:
- а) \(f'(x)=2\);
- б) \(f'(x)=\frac{1}{2}\);
- в) \(f'(x)=2\);
- г) \(f'(x)=-\frac{1}{2}\);
- д) \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), мында \(x\ne 0\).
Кантип алынат
- Сызыктуу функция \(f(x)=kx+b\) үчүн туунду \(x\)-тин алдындагы коэффициентке барабар: \[ f'(x)=k. \]
Муну туундунун аныктамасы аркылуу текшерсе болот: \[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{k(x+h)+b-(kx+b)}{h} = \frac{kh}{h}=k. \]
Ошондуктан:
- \(2x+1\) үчүн коэффициент \(2\), демек \(f'(x)=2\);
- \(\frac12x-1\) үчүн коэффициент \(\frac12\), демек \(f'(x)=\frac12\);
- \(-\frac12x-1\) үчүн коэффициент \(-\frac12\), демек \(f'(x)=-\frac12\).
- \(\frac1x\) функциясын \(x^{-1}\) деп жазып алабыз. Даражалуу функциянын туундусу: \[ (x^n)'=nx^{n-1}. \] Мына \(n=-1\) болгондо: \[ \left(\frac1x\right)'=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. \]
Текшерүү: сызыктуу функциянын туундусу туруктуу сан болуп, түз сызыктын жантайышын көрсөтөт. Мисалы, \(2x+1\) үчүн жантайыш \(2\), ошондуктан \(f'(x)=2\). Ал эми \(\frac1x\) функциясы оң \(x\) үчүн азаят, ошондуктан анын туундусу терс сан — \(-\frac{1}{x^2}\).
Эгер туундуну белгилүү бир чекитте эсептөө керек болсо, ошол чекиттин маанисин \(f'(x)\) формуласына коюу жетиштүү.
