Помоги

На левой доске пять заданий. Краткие ответы:

1. а) \(x=-9,\ 0,\ 9\);
   б) \(x=-3{,}4\).
2. а) \(x=\pm1\) или \(x=\pm3\);
   б) \(x=\pm\sqrt3\).
3. \[ x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}. \]

Как это получается

1, а) Вынесем общий множитель: \[ x^3-81x=x(x^2-81)=x(x-9)(x+9)=0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0,\quad x=9,\quad x=-9. \]

1, б) Раскроем скобки: \[ 3x-4{,}5+2x=12{,}5+10x, \] \[ 5x-4{,}5=12{,}5+10x. \] Перенесём \(x\) в одну сторону, числа — в другую: \[ -5x=17, \] \[ x=-3{,}4. \]

2, а) Это биквадратное уравнение. Обозначим \[ t=x^2,\quad t\ge0. \] Тогда \[ t^2-10t+9=0. \] По теореме Виета \(t=1\) или \(t=9\). Оба значения неотрицательны, поэтому: \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1, \] \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \]

2, б) Снова \(t=x^2\ge0\): \[ t^2+6t-27=0. \] Корни: \[ t=3 \quad \text{или} \quad t=-9. \] Значение \(t=-9\) не подходит, потому что \(x^2\ge0\). Значит, \[ x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt3. \]

3) Сначала найдём ограничения: \[ x\ne1,\quad x\ne-1. \] Умножим уравнение на \((x-1)(x+1)\): \[ 5(x+1)+30(x-1)=5(x^2-1). \] Раскроем скобки: \[ 5x+5+30x-30=5x^2-5, \] \[ 35x-25=5x^2-5, \] \[ 5x^2-35x+20=0. \] Разделим на 5: \[ x^2-7x+4=0. \] Тогда \[ x=\frac{7\pm\sqrt{49-16}}{2} =\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}. \] Оба корня не равны \(1\) и \(-1\), значит, оба подходят.

Главный принцип: при \(x^4\) и \(x^2\) делают замену \(t=x^2\), при дробях сначала находят ОДЗ, а потом умножают на общий знаменатель и обязательно проверяют корни.