12. «Комбинаторика элементтері» бөлімін қайталауға арналған жаттығулар. 293. Виктор, Тарас, Лейла, Дариға, Саят шахмат сайысына қатысады.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- «Комбинаторика элементтері» бөлімін қайталауға арналған жаттығулар А деңгейі
- Виктор, Тарас, Лейла, Дариға, Саят шахмат сайысына қатысады. Онда қатысушылар бір-бірімен тек бір партия ойнайды. Виктордың 4 партия ойнағаны, Тарас пен Лейла — екі партиядан, ал Дариға мен Саят бір партиядан ойнағаны белгілі болса, Лейла кіммен ойнаған? Есепті графты пайдаланып шешіңдер.
- 2018 санының цифрларын алмастыру нәтижесінде қанша сан пайда болады?
- Теңдік ақиқат па: а) \(P_3+P_2=P_5\); ә) \(\frac{P_8-P_7}{P_6}=49\); б) \(\frac{P_8-P_7}{P_6}=P_7\); в) \(\frac{P_k-P_{k-1}}{P_{k-2}}=(k-1)^2\).
- 1, 2, 3 цифрларынан құрастыруға болатын және цифрлары қайталанбайтын барлық үш таңбалы сандардың қосындысын табыңыздар.
- Келесі есептерді шығарғанда қайсысына теруді, ал қайсысына орналастыруды қолданады және неге? Топта 12 оқушы бар. Олардан екі кезекші: а) міндеттері бірдей; ә) біреуі аға кезекші болатындай неше тәсілмен таңдап алуға болады?
- Бөлшекті қысқартыңдар: а) \(\frac{A_5^2}{3!}\); ә) \(\frac{A_6^3}{4!}\); б) \(\frac{A_{n+1}^3}{A_n^2}\); в) \(\frac{A_{n+3}^3}{A_{n+1}^2}\).
- Баскетбол ойнауға бастапқы команда құрамын (5 адам) 9 адамнан неше тәсілмен таңдап алуға болады?
- Жиынтық бағалау үшін әртүрлі 10 есептен 5 тапсырмадан таңдап алынады. Тапсырмалардан қанша әртүрлі нұсқалар құруға болады?
- Шеңберге 5 нүкте белгіленген. Төбелері осы нүктелерде болатын қанша дөңес көпбұрыш бар болады?
- Дөңес жетібұрыштың қанша диагоналі бар?
Иә, 293–302 (А деңгейі) шығарылды.
| № | Қысқа жауап |
|---|---|
| 293 | Лейла Виктормен және Тараспен ойнады |
| 294 | 18 сан |
| 295 | а) жалған; ә) ақиқат; б) жалған; в) ақиқат |
| 296 | 1332 |
| 297 | а) 66; ә) 132 |
| 298 | а) \(\frac{10}{3}\); ә) 5; б) \(n+1\); в) \(\frac{(n+3)(n+2)}{n}\) |
| 299 | 126 |
| 300 | 252 |
| 301 | 16 |
| 302 | 14 |
293. Виктор 4 партия ойнады, демек ол қалған төртеуімен де ойнады. Дариға мен Саяттың әрқайсысы 1 партия ғана ойнаған, сондықтан олар тек Виктормен ойнаған. Тарас пен Лейлаға Виктормен ойнағаннан кейін тағы бір партия керек. Ол тек Тарас–Лейла партиясы бола алады. Граф: \(В—Т,\ В—Л,\ В—Д,\ В—С,\ Т—Л\).
294. Төрт цифрдан барлығы \(4!=24\) орын ауыстыру бар. Бірінші цифры \(0\) болатын \(3!=6\) жағдай төрт таңбалы сан болмайды. Сондықтан \(24-6=18\).
295. \(P_n=n!\).
- а) \(P_3+P_2=6+2=8\), ал \(P_5=120\). Жалған.
- ә) \(\frac{P_8-P_7}{P_6}=\frac{8!-7!}{6!}=\frac{7!(8-1)}{6!}=7\cdot7=49\). Ақиқат.
- б) Сол жағы \(49\), ал \(P_7=5040\); \(49\ne5040\). Жалған.
- в) \(\frac{P_k-P_{k-1}}{P_{k-2}}=\frac{(k-1)!(k-1)}{(k-2)!}=(k-1)^2\). Ақиқат.
296. Барлығы \(3!=6\) сан: \(123,132,213,231,312,321\). Олардың қосындысы: \[ 123+132+213+231+312+321=1332. \] Немесе әр цифр әр разрядта 2 рет кездеседі: \[ 2(1+2+3)(100+10+1)=2\cdot6\cdot111=1332. \]
297. а) Кезекшілердің міндеттері бірдей, реттілік маңызды емес, сондықтан теру қолданылады: \[ C_{12}^2=\frac{12\cdot11}{2}=66. \] ә) Біреуі аға кезекші, яғни рөлдері әртүрлі, реттілік маңызды. Орналастыру: \[ A_{12}^2=12\cdot11=132. \]
298. \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\).
- а) \(\frac{A_5^2}{3!}=\frac{5\cdot4}{6}=\frac{10}{3}\).
- ә) \(\frac{A_6^3}{4!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{24}=5\).
- б) \(\frac{A_{n+1}^3}{A_n^2}=\frac{(n+1)n(n-1)}{n(n-1)}=n+1\).
- в) \[ \frac{A_{n+3}^3}{A_{n+1}^2} =\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{(n+1)n} =\frac{(n+3)(n+2)}{n}. \]
299. Команда құрамында реттілік маңызды емес: \[ C_9^5=C_9^4=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4!}=126. \]
300. Тапсырмалардың реті маңызды емес: \[ C_{10}^5=\frac{10!}{5!5!}=252. \]
301. Кез келген 3, 4 немесе 5 нүкте дөңес көпбұрыш береді: \[ C_5^3+C_5^4+C_5^5=10+5+1=16. \]
302. Дөңес \(n\)-бұрыштың диагональ саны \(\frac{n(n-3)}{2}\). Жетібұрыш үшін: \[ \frac{7(7-3)}{2}=14. \]
Обсуждение
5 сообщенийБолдың ба шығарып
Иә, 303–310-ды толық шығардым. 311-дің шарты суретте аяқталмай қалған, сондықтан оған ықтимал жалғасын ескеріп жауап бердім.
| № | Қысқа жауап |
|---|---|
| 303 | 22 тақ сан |
| 304 | а) 1995; ә) 1925 |
| 305 | а) 49; ә) 42 |
| 306 | а) 9; 10; ә) 5; б) 8 |
| 307 | \(5\sqrt5\) |
| 308 | а) \(n+1\); ә) 49 |
| 309 | дәлелдеу |
| 310 | 12 |
| 311 | шарт толық емес; ең үлкен \(n=15\) |
303. Цифрлар қайталанбайды, сан тақ болуы керек, яғни \(3\) немесе \(5\)-пен аяқталады. Ұзындығы бойынша санаймыз:
- біртаңбалы: \(3,\ 5\) — \(2\);
- екітаңбалы: \(43,53,35,45\) — \(4\);
- үштаңбалы: \(403,453,503,543\) және \(305,345,405,435\) — \(8\);
- төрттаңбалы: \(4053,4503,5043,5403\) және \(3045,3405,4035,4305\) — \(8\).
Барлығы \(2+4+8+8=22\).
304. а) 21 қызметкерге I, II, III санатты үлестіру — орналастыру: \[ \frac{1}{4}A_{21}^3=\frac{21\cdot20\cdot19}{4}=1995. \] ә) Сегіз кітаптан төртеуін таңдау: \[ C_8^4=70. \] Сонда \(1995-70=1925\). Бұл — Ақсу-Жабағылы қорығы құрылған 1926 жылдың алдындағы жыл.
305. а) \(0,2,9\) цифрлары болмайды, қалған \(7\) цифр: \(1,3,4,5,6,7,8\). Бірінші цифр — \(7\), екіншісі — \(7\), сондықтан \(7\cdot7=49\).
ә) \(1,2,9\) болмайды, қалғандары \(0,3,4,5,6,7,8\). Бірінші цифр \(0\) болмайды, сондықтан \(6\) нұсқа, екіншісі \(7\) нұсқа: \[ 6\cdot7=42. \]
306. а) \[ A_n^5=18A_{n-2}^4 \] \[ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=18(n-2)(n-3)(n-4)(n-5). \] \(n\ge6\) болғанда қысқартамыз: \[ n(n-1)=18(n-5), \] \[ n^2-19n+90=0, \] \[ n=9,\quad n=10. \]
ә) \[ A_{2n}^3=12A_n^3, \] \[ 2n(2n-1)(2n-2)=12n(n-1)(n-2). \] \(2n-2=2(n-1)\) болғандықтан: \[ 4n(n-1)(2n-1)=12n(n-1)(n-2), \] \[ 4(2n-1)=12(n-2), \] \[ 8n-4=12n-24, \] \[ n=5. \]
б) \[ 14C_{n+1}^{n-1}=A_{n+1}^3. \] \[ C_{n+1}^{n-1}=C_{n+1}^{2}=\frac{(n+1)n}{2}, \] \[ A_{n+1}^3=(n+1)n(n-1). \] Сонда \[ 14\cdot\frac{(n+1)n}{2}=(n+1)n(n-1), \] \[ 7=n-1, \] \[ n=8. \]
307. \(\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\), \(\beta=\frac{1-\sqrt5}{2}\) деп белгілейміз. Есептеу: \[ \alpha^5=\frac{11+5\sqrt5}{2},\qquad \beta^5=\frac{11-5\sqrt5}{2}. \] Сондықтан \[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^5-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^5 =\frac{11+5\sqrt5-11+5\sqrt5}{2} =5\sqrt5. \]
308. а) \(p^n\) санының бөлгіштері: \(1,p,p^2,\dots,p^n\), яғни \(n+1\) бөлгіш.
ә) \(1\,000\,000=10^6=2^6\cdot5^6\). Бөлгіштер саны: \[ (6+1)(6+1)=49. \]
309. \(\overline{abc}=100a+10b+c\), \(\overline{bca}=100b+10c+a\). Ондық көбейткішпен салыстырамыз: \[ 10\overline{abc}-\overline{bca}=1000a+100b+10c-(100b+10c+a)=999a=37\cdot27a. \] Демек \[ \overline{bca}=10\overline{abc}-37\cdot27a. \] \(\overline{abc}\) саны \(37\)-ге бөлінетіндіктен, \(\overline{bca}\) да \(37\)-ге бөлінеді.
310. \(A_n^3=n(n-1)(n-2)\le1320\). Тексереміз: \[ 12\cdot11\cdot10=1320, \] ал \[ 13\cdot12\cdot11=1716>1320. \] Сондықтан ең үлкен мән \(n=12\).
311. Төртбұрыштың \(2\) диагоналі, бесбұрыштың \(5\) диагоналі, \(n\)-бұрыштың \(\frac{n(n-3)}{2}\) диагоналі бар. Сумма: \[ 2+5+\frac{n(n-3)}{2}\le100. \] \[ \frac{n(n-3)}{2}\le93, \] \[ n(n-3)\le186. \] \(n=15\) болғанда \(\frac{15\cdot12}{2}=90\), сумма \(97\le100\). \(n=16\) болғанда \(\frac{16\cdot13}{2}=104\), сумма \(111>100\). Егер тапсырмада \(n\)-нің ең үлкен мәнін табу керек болса, жауабы \(15\). Шарттың соңы көрінбей тұр, нақты нені сұрайтынын жазсаң, сол бойынша нақтылаймын.
