4) Треугольники ABC (AB = 8 см, AC = 6 см) и A₁B₁C₁ (B₁C₁ = 4 см): BC, A₁C₁, A₁B₁ — ?; 5) прямоугольный треугольник с катетами 8 и 10: c, P, S — ?

Кратко

№ 5 — прямоугольный треугольник с катетами 8 и 10: \[ c=\sqrt{8^2+10^2}=2\sqrt{41}\approx 12{,}8,\qquad P=18+2\sqrt{41}\approx 30{,}8,\qquad S=\frac{8\cdot 10}{2}=40. \]

№ 4 — на фото есть только рисунки и вопросы, а самого условия (коэффициента подобия или стороны \(BC\)) нет, поэтому одна задача не решается однозначно. Ниже показываю, как её добить, когда это число будет.

№ 5: шаги

1. Прямой угол отмечен между сторонами 8 и 10 — это катеты, значит «?» стоит на гипотенузе.
2. Теорема Пифагора: \(c^2=a^2+b^2\). \[ c^2=64+100=164\ \Rightarrow\ c=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12{,}8 \]
3. Периметр — сумма всех сторон: \[ P=8+10+c=18+2\sqrt{41}\approx 30{,}8 \]
4. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: \[ S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10=40 \] Проверка: \(12{,}8^2\approx 164\), а \(8+10+12{,}8=30{,}8\) — сходится.

№ 4: принцип и чего не хватает

У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны с одним и тем же коэффициентом: \[ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{B_1C_1}{BC}=k \] Из рисунка видно: \(AB=8\) см, \(AC=6\) см, \(B_1C_1=4\) см. Тогда \[ A_1B_1=8k,\qquad A_1C_1=6k,\qquad 4=k\cdot BC. \] Неизвестных две (\(k\) и \(BC\)), а связывает их одно уравнение: подойдёт и \(BC=4,\ k=1\), и \(BC=8,\ k=0{,}5\) — ответы получаются разные. Значит, в условии было ещё одно данное: чаще всего это коэффициент подобия \(k\) (например, «треугольники подобны с коэффициентом 2») или длина \(BC\).

Если в учебнике, наоборот, сказано, что треугольники равны, то ответ сразу: \(BC=4\) см, \(A_1C_1=6\) см, \(A_1B_1=8\) см.

Скажи, чему равен \(k\) (или \(BC\)), — и я досчитаю все три стороны.