Решите уравнения (19.1—19.11): 19.1. 1) cos x = √3/2; 2) cos x = √2/2; 3) cos x = 1/2; 4) cos x = -√3/2; 5) cos x = 0; 6) cos x = 1.

На фото — номера 19.1–19.3. Это простейшие тригонометрические уравнения; ниже ответы и принцип, по которому они получаются.

Ответы

19.1. \(\cos x=a\)

\[ \begin{aligned} 1)&\ x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k; & 2)&\ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k; & 3)&\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\\ 4)&\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k; & 5)&\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k; & 6)&\ x=2\pi k. \end{aligned} \] \(k\in\mathbb Z\).

19.2. \(\sin x=a\)

\[ \begin{aligned} 1)&\ x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n; & 2)&\ x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n; & 3)&\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n;\\ 4)&\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n; & 5)&\ x=\pi n; & 6)&\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n. \end{aligned} \] \(n\in\mathbb Z\).

19.3. \(\operatorname{tg}x=a\), \(\operatorname{ctg}x=a\)

\[ \begin{aligned} 1)&\ x=\operatorname{arctg}3+\pi k; & 2)&\ x=-\operatorname{arctg}2+\pi k; & 3)&\ x=-\frac{\pi}{6}+\pi k;\\ 4)&\ x=-\operatorname{arctg}\frac{2}{\sqrt3}+\pi k; & 5)&\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k; & 6)&\ x=-\operatorname{arctg}\frac{1}{3}+\pi k. \end{aligned} \] \(k\in\mathbb Z\).

Почему так

Ключ — единичная окружность.

• Для \(\cos x=a\) точки окружности имеют одну и ту же абсциссу \(a\). Они симметричны относительно оси \(Ox\), поэтому \[ x=\pm\arccos a+2\pi k. \]
• Для \(\sin x=a\) точки имеют одну и ту же ординату \(a\). Одна точка — \(\arcsin a\), вторая — \(\pi-\arcsin a\). Вместе это \[ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n. \]
• У тангенса и котангенса период \(\pi\), поэтому \[ x=\operatorname{arctg}a+\pi k,\qquad x=\operatorname{arcctg}a+\pi k. \]

Табличные углы: \(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\). Например, \[ \arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},\qquad \operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}. \]

Если аргумент отрицательный, работает симметрия: \[ \arccos(-a)=\pi-\arccos a,\qquad \arcsin(-a)=-\arcsin a,\qquad \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a. \] Поэтому в 19.1(4): \[ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}, \] а в 19.2(3): \[ \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}, \] что и даёт \((-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n\).

В 19.3(4) удобно перейти к тангенсу: \[ \operatorname{ctg}x=-\frac{\sqrt3}{2} \ \Rightarrow\ \operatorname{tg}x=-\frac{2}{\sqrt3}, \] отсюда \(x=-\operatorname{arctg}\frac{2}{\sqrt3}+\pi k\).

Проверка: подставь любой полученный угол в исходное уравнение. Например, \[ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\qquad \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}. \] Всё совпадает.