131. Решите неравенство, используя метод интервалов:

Ты записал решение в правильном порядке: находишь нули, отмечаешь их на прямой, проверяешь знаки и берёшь нужные промежутки. Это и есть метод интервалов. В пункте а) всё верно, ответ совпадает:

\[ x\in(-\infty;-8)\cup(5;+\infty). \]

В пункте б) есть ошибка в последней строчке. Ты правильно проверил точку \(x=-1\):

\[ (-1-14)(-1+10)=-15\cdot 9=-135<0. \]

Неравенство в этой точке выполняется, а сама точка \(-1\) лежит между корнями \(-10\) и \(14\). Значит, решением должен быть именно внутренний промежуток:

\[ x\in(-10;14). \]

А в тетради записано \((-\infty;-10)\cup(14;+\infty)\) — это ответ для случая \(>0\), а у нас стоит знак \(<0\). Исправь только последнюю строку, ход решения у тебя правильный.

Понял — записываю ответы просто промежутками, без \(x\in\):

а) \((-\infty;-8)\cup(5;+\infty)\)

б) \((-10;14)\) — исправленный вариант

в) \((-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)\)

г) \(\left[-\frac13;-\frac18\right]\)

Если нужно было убрать не \(x\), а подписи а)–г), скажи — перепишу просто списком.

Уточни, пожалуйста: оформить ответы с заголовками «Дано» и «Решение» или проверить готовое решение, которое ты хочешь прислать?

Уточни, пожалуйста: «131» — это номер задания, которое мы уже разобрали, и что с ним нужно сделать — оформить «Дано/Решение» или проверить твой вариант?

Дано:

а) \((x+8)(x-5)>0\)
б) \((x-14)(x+10)<0\)
в) \((x-3{,}5)(x+8{,}5)\ge0\)
г) \(\left(x+\frac13\right)\left(x+\frac18\right)\le0\)

Найти: множество решений каждого неравенства.

Решение (метод интервалов)

Находим нули множителей, отмечаем их на числовой прямой и определяем знак произведения на каждом промежутке.

а) Нули: \(-8\) и \(5\) (точки выколотые).

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-8) & (-8;5) & (5;+\infty)\\ \hline (x+8)(x-5) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ (-\infty;-8)\cup(5;+\infty) \]

б) Нули: \(-10\) и \(14\) (точки выколотые).

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-10) & (-10;14) & (14;+\infty)\\ \hline (x-14)(x+10) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»: \[ (-10;14) \]

в) Нули: \(-8{,}5\) и \(3{,}5\) (точки закрашенные).

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-8{,}5) & (-8{,}5;3{,}5) & (3{,}5;+\infty)\\ \hline (x-3{,}5)(x+8{,}5) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)» вместе с концами: \[ (-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty) \]

г) Нули: \(-\frac13\) и \(-\frac18\) (точки закрашенные).

\[ \begin{array}{c|ccc} x & \left(-\infty;-\frac13\right) & \left(-\frac13;-\frac18\right) & \left(-\frac18;+\infty\right)\\ \hline \left(x+\frac13\right)\left(x+\frac18\right) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)» вместе с концами: \[ \left[-\frac13;-\frac18\right] \]

Ответ:
а) \((-\infty;-8)\cup(5;+\infty)\);
б) \((-10;14)\);
в) \((-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)\);
г) \(\left[-\frac13;-\frac18\right]\).

Дано: № 131

а) \((x+8)(x-5)>0\)
б) \((x-14)(x+10)<0\)
в) \((x-3{,}5)(x+8{,}5)\ge0\)
г) \(\left(x+\frac13\right)\left(x+\frac18\right)\le0\)

Решение:

Для произведения \((x-a)(x-b)\), где \(a<b\): между корнями оно отрицательно, а вне промежутка \((a;b)\) — положительно.

а) Корни \(-8\) и \(5\), знак «\(>\)» — берём вне промежутка, точки выколотые: \[ (-\infty;-8)\cup(5;+\infty) \]

б) Корни \(-10\) и \(14\), знак «\(<\)» — берём между корнями, точки выколотые: \[ (-10;14) \]

в) Корни \(-8{,}5\) и \(3{,}5\), знак «\(\ge\)» — берём вне промежутка, точки закрашенные: \[ (-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty) \]

г) Корни \(-\frac13\) и \(-\frac18\), знак «\(\le\)» — берём между корнями, точки закрашенные: \[ \left[-\frac13;-\frac18\right] \]

Ответ:
а) \((-\infty;-8)\cup(5;+\infty)\);
б) \((-10;14)\);
в) \((-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)\);
г) \(\left[-\frac13;-\frac18\right]\).

Дано: № 131

а) \((x+8)(x-5)>0\)
б) \((x-14)(x+10)<0\)
в) \((x-3{,}5)(x+8{,}5)\ge0\)
г) \(\left(x+\frac13\right)\left(x+\frac18\right)\le0\)

Найти: решения неравенств.

Общий способ

Каждое неравенство имеет вид \((x-a)(x-b)\) со знаком \(>\), \(<\) или нестрогим. Действуем так:

1. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни — в них произведение равно нулю.
2. Отмечаем корни на числовой прямой. Точка выколотая, если неравенство строгое (\(<\), \(>\)), и закрашенная, если нестрогое (\(\le\), \(\ge\)).
3. Корни разбивают прямую на промежутки. На каждом из них берём пробную точку и считаем знак произведения.
4. Выбираем промежутки с нужным знаком. При знаках \(\le\) или \(\ge\) добавляем закрашенные концы.

Есть и короткое правило: у произведения \((x-a)(x-b)\) при \(a<b\) знак «\(+\)» стоит вне промежутка \((a;b)\), то есть на \((-\infty;a)\) и \((b;+\infty)\), а знак «\(-\)» — внутри \((a;b)\). Знаки чередуются, потому что каждый множитель меняет знак при переходе через свой корень.

а) \((x+8)(x-5)>0\)

Корни: \(x+8=0\Rightarrow x=-8\); \(x-5=0\Rightarrow x=5\).

Знак строгий, поэтому обе точки выколотые.

Пробные точки:

Промежуток	Пробная точка	Значение произведения	Знак
\((-\infty;-8)\)	\(x=-9\)	\((-9+8)(-9-5)=(-1)(-14)=14\)	\(+\)
\((-8;5)\)	\(x=0\)	\((0+8)(0-5)=8\cdot(-5)=-40\)	\(-\)
\((5;+\infty)\)	\(x=6\)	\((6+8)(6-5)=14\cdot1=14\)	\(+\)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-8) & (-8;5) & (5;+\infty)\\ \hline (x+8)(x-5) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-\infty;-8)\cup(5;+\infty)} \]

б) \((x-14)(x+10)<0\)

Корни: \(x-14=0\Rightarrow x=14\); \(x+10=0\Rightarrow x=-10\).

Расположим по возрастанию: \(-10\) и \(14\). Неравенство строгое — точки выколотые.

Пробные точки:

Промежуток	Пробная точка	Значение произведения	Знак
\((-\infty;-10)\)	\(x=-11\)	\((-11-14)(-11+10)=(-25)(-1)=25\)	\(+\)
\((-10;14)\)	\(x=0\)	\((0-14)(0+10)=(-14)\cdot10=-140\)	\(-\)
\((14;+\infty)\)	\(x=15\)	\((15-14)(15+10)=1\cdot25=25\)	\(+\)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-10) & (-10;14) & (14;+\infty)\\ \hline (x-14)(x+10) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)», то есть внутренний промежуток: \[ \boxed{(-10;14)} \]

Проверка: \(x=0\) даёт \(-140<0\) — верно; \(x=15\) даёт \(25>0\) — не подходит.

в) \((x-3{,}5)(x+8{,}5)\ge0\)

Корни: \(x=3{,}5\) и \(x=-8{,}5\). Расположим по возрастанию: \(-8{,}5\) и \(3{,}5\).

Знак «\(\ge\)» нестрогий, поэтому точки закрашенные: сами корни входят в ответ, так как там произведение равно нулю.

Пробные точки:

Промежуток	Пробная точка	Значение произведения	Знак
\((-\infty;-8{,}5)\)	\(x=-9\)	\((-9-3{,}5)(-9+8{,}5)=(-12{,}5)(-0{,}5)=6{,}25\)	\(+\)
\((-8{,}5;3{,}5)\)	\(x=0\)	\((0-3{,}5)(0+8{,}5)=(-3{,}5)(8{,}5)=-29{,}75\)	\(-\)
\((3{,}5;+\infty)\)	\(x=4\)	\((4-3{,}5)(4+8{,}5)=0{,}5\cdot12{,}5=6{,}25\)	\(+\)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-8{,}5) & (-8{,}5;3{,}5) & (3{,}5;+\infty)\\ \hline (x-3{,}5)(x+8{,}5) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)» и добавляем концы \(-8{,}5\) и \(3{,}5\): \[ \boxed{(-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)} \]

Проверка границ: при \(x=3{,}5\) получаем \(0\ge0\) — верно, поэтому скобка квадратная.

г) \(\left(x+\frac13\right)\left(x+\frac18\right)\le0\)

Корни: \(x=-\frac13\) и \(x=-\frac18\). Сравним: \(-\frac13\approx-0{,}333\), \(-\frac18=-0{,}125\), значит \[ -\frac13<-\frac18. \]

Знак «\(\le\)» нестрогий — точки закрашенные.

Пробные точки:

Промежуток	Пробная точка	Значение произведения	Знак
\(\left(-\infty;-\frac13\right)\)	\(x=-1\)	\(\left(-1+\frac13\right)\left(-1+\frac18\right)=\left(-\frac23\right)\left(-\frac78\right)=\frac{7}{12}\)	\(+\)
\(\left(-\frac13;-\frac18\right)\)	\(x=-\frac15\)	\(\left(-\frac15+\frac13\right)\left(-\frac15+\frac18\right)=\frac{2}{15}\cdot\left(-\frac{3}{40}\right)=-\frac{1}{100}\)	\(-\)
\(\left(-\frac18;+\infty\right)\)	\(x=0\)	\(\left(0+\frac13\right)\left(0+\frac18\right)=\frac13\cdot\frac18=\frac{1}{24}\)	\(+\)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & \left(-\infty;-\frac13\right) & \left(-\frac13;-\frac18\right) & \left(-\frac18;+\infty\right)\\ \hline \left(x+\frac13\right)\left(x+\frac18\right) & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)» и добавляем концы: \[ \boxed{\left[-\frac13;-\frac18\right]} \]

Проверка: при \(x=-\frac14\) (это между \(-\frac13\) и \(-\frac18\)) получаем \[ \left(-\frac14+\frac13\right)\left(-\frac14+\frac18\right)=\frac{1}{12}\cdot\left(-\frac18\right)=-\frac{1}{96}<0, \] значит точка действительно входит в решение.

Ответ

а) \((-\infty;-8)\cup(5;+\infty)\)
б) \((-10;14)\)
в) \((-\infty;-8{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)\)
г) \(\left[-\frac13;-\frac18\right]\)

Дано: пять дробно-рациональных неравенств:

1. \(\dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2}>0\)
2. \(\dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1}\le0\)
3. \(\dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3}\ge0\)
4. \(\dfrac{x^2-16}{x-3}<0\)
5. \(\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}\ge0\)

Найти: множества решений.

Правило. Находим нули числителя и знаменателя. Нуль знаменателя всегда выколот, так как на него делить нельзя. Нуль числителя закрашен, если неравенство нестрогое (\(\le\) или \(\ge\)), и выколот, если строгое.

---

1) \(\dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2}>0\)

ОДЗ: \(x\ne2\).

Нули числителя: \(x=3\), \(x=-5\). Нуль знаменателя: \(x=2\). Все точки выколотые, потому что знак строгий.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-5) & (-5;2) & (2;3) & (3;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-5;2)\cup(3;+\infty)} \]

---

2) \(\dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1}\le0\)

ОДЗ: \(x\ne-1\).

Нули числителя: \(x=-4\), \(x=2\). Они входят в ответ, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя \(x=-1\) выколот.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4) & (-4;-1) & (-1;2) & (2;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»: \[ \boxed{(-\infty;-4]\cup(-1;2]} \]

---

3) \(\dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3}\ge0\)

ОДЗ: \(x\ne-3\).

Нули числителя: \(x=1\), \(x=5\) — закрашены. Нуль знаменателя \(x=-3\) — выколот.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-3) & (-3;1) & (1;5) & (5;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-3;1]\cup[5;+\infty)} \]

---

4) \(\dfrac{x^2-16}{x-3}<0\)

Разложим числитель: \[ x^2-16=(x-4)(x+4). \] Получаем: \[ \frac{(x-4)(x+4)}{x-3}<0. \]

ОДЗ: \(x\ne3\).

Нули числителя: \(x=-4\), \(x=4\). Все точки выколотые.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4) & (-4;3) & (3;4) & (4;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x-4)(x+4)}{x-3} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»: \[ \boxed{(-\infty;-4)\cup(3;4)} \]

---

5) \(\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}\ge0\)

Разложим числитель: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] Получаем: \[ \frac{(x-2)(x-3)}{x+2}\ge0. \]

ОДЗ: \(x\ne-2\).

Нули числителя: \(x=2\), \(x=3\) — закрашены. Нуль знаменателя \(x=-2\) — выколот.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-2) & (-2;2) & (2;3) & (3;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x-2)(x-3)}{x+2} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-2;2]\cup[3;+\infty)} \]

---

Ответ:

1. \((-5;2)\cup(3;+\infty)\)
2. \((-\infty;-4]\cup(-1;2]\)
3. \((-3;1]\cup[5;+\infty)\)
4. \((-\infty;-4)\cup(3;4)\)
5. \((-2;2]\cup[3;+\infty)\)

Дано:

1. \(\dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2}>0\)
2. \(\dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1}\le0\)
3. \(\dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3}\ge0\)
4. \(\dfrac{x^2-16}{x-3}<0\)
5. \(\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}\ge0\)

Найти: множества решений.

Решение

Общее правило: находим нули числителя и знаменателя, отмечаем их на числовой прямой и определяем знак дроби на каждом промежутке. Нуль знаменателя всегда выколот; нуль числителя закрашен при \(\le\) или \(\ge\) и выколот при \(<\) или \(>\).

---

1) \(\dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2}>0\)

ОДЗ: \(x\ne2\).

Нули: числитель \(x=3\), \(x=-5\); знаменатель \(x=2\). Все точки выколоты.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-5) & (-5;2) & (2;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-5;2)\cup(3;+\infty)} \]

---

2) \(\dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1}\le0\)

ОДЗ: \(x\ne-1\).

Нули числителя: \(x=-4\), \(x=2\) — закрашены, так как неравенство нестрогое. Нуль знаменателя \(x=-1\) — выколот.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4) & (-4;-1) & (-1;2) & (2;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»: \[ \boxed{(-\infty;-4]\cup(-1;2]} \]

---

3) \(\dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3}\ge0\)

ОДЗ: \(x\ne-3\).

Нули числителя: \(x=1\), \(x=5\) — закрашены. Нуль знаменателя \(x=-3\) — выколот.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-3) & (-3;1) & (1;5) & (5;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-3;1]\cup[5;+\infty)} \]

---

4) \(\dfrac{x^2-16}{x-3}<0\)

Разложим числитель: \[ x^2-16=(x-4)(x+4). \] Получаем: \[ \frac{(x-4)(x+4)}{x-3}<0. \]

ОДЗ: \(x\ne3\).

Нули числителя: \(x=-4\), \(x=4\); нуль знаменателя \(x=3\). Все точки выколоты.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4) & (-4;3) & (3;4) & (4;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»: \[ \boxed{(-\infty;-4)\cup(3;4)} \]

---

5) \(\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}\ge0\)

Разложим числитель: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] Получаем: \[ \frac{(x-2)(x-3)}{x+2}\ge0. \]

ОДЗ: \(x\ne-2\).

Нули числителя: \(x=2\), \(x=3\) — закрашены. Нуль знаменателя \(x=-2\) — выколот.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-2) & (-2;2) & (2;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»: \[ \boxed{(-2;2]\cup[3;+\infty)} \]

---

Ответ:

1. \((-5;2)\cup(3;+\infty)\)
2. \((-\infty;-4]\cup(-1;2]\)
3. \((-3;1]\cup[5;+\infty)\)
4. \((-\infty;-4)\cup(3;4)\)
5. \((-2;2]\cup[3;+\infty)\)

Дано:

1. \(\dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2}>0\)
2. \(\dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1}\le0\)
3. \(\dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3}\ge0\)
4. \(\dfrac{x^2-16}{x-3}<0\)
5. \(\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}\ge0\)

Найти: множества решений.

---

Как решать такие неравенства

1. Разложить числитель и знаменатель на множители. Например, \(x^2-16=(x-4)(x+4)\).
2. Найти нули числителя и знаменателя. В нуле числителя дробь равна нулю; в нуле знаменателя дробь не существует.
3. Отметить точки на числовой прямой:
   • нуль знаменателя — всегда выколот, потому что делить на ноль нельзя;
   • нуль числителя — закрашен при \(\le\) или \(\ge\), выколот при \(<\) или \(>\).
4. Определить знак дроби на каждом промежутке — удобно подставлять пробную точку.
5. Выбрать нужные промежутки и записать ответ.

Знаки чередуются, потому что каждый множитель меняет знак при переходе через свой корень.

---

1) \(\dfrac{(x-3)(x+5)}{x-2}>0\)

Нули:

• числитель: \(x=3\), \(x=-5\);
• знаменатель: \(x=2\).

Неравенство строгое, поэтому все три точки выколоты: \(-5\), \(2\), \(3\).

Пробные точки:

\[ x=-6:\quad \frac{(-6-3)(-6+5)}{-6-2}=\frac{(-9)(-1)}{-8}<0 \]

\[ x=0:\quad \frac{(0-3)(0+5)}{0-2}=\frac{(-3)\cdot5}{-2}>0 \]

\[ x=2{,}5:\quad \frac{(2{,}5-3)(2{,}5+5)}{2{,}5-2}=\frac{(-0{,}5)(7{,}5)}{0{,}5}<0 \]

\[ x=4:\quad \frac{(4-3)(4+5)}{4-2}=\frac{1\cdot9}{2}>0 \]

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-5) & (-5;2) & (2;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак дроби} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»:

\[ \boxed{(-5;2)\cup(3;+\infty)} \]

---

2) \(\dfrac{(x+4)(x-2)}{x+1}\le0\)

Нули:

• числитель: \(x=-4\), \(x=2\) — закрашены, так как неравенство нестрогое;
• знаменатель: \(x=-1\) — выколот.

Пробные точки:

\[ x=-5:\quad \frac{(-5+4)(-5-2)}{-5+1}=\frac{(-1)(-7)}{-4}<0 \]

\[ x=-2:\quad \frac{(-2+4)(-2-2)}{-2+1}=\frac{2\cdot(-4)}{-1}>0 \]

\[ x=0:\quad \frac{(0+4)(0-2)}{0+1}=\frac{4\cdot(-2)}{1}<0 \]

\[ x=3:\quad \frac{(3+4)(3-2)}{3+1}=\frac{7\cdot1}{4}>0 \]

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4) & (-4;-1) & (-1;2) & (2;+\infty)\\ \hline \text{знак дроби} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»; точки \(-4\) и \(2\) включаем, \(-1\) — нет:

\[ \boxed{(-\infty;-4]\cup(-1;2]} \]

Проверка: при \(x=-4\) и \(x=2\) дробь равна нулю, а условие \(\le0\) выполнено.

---

3) \(\dfrac{(x-1)(x-5)}{x+3}\ge0\)

Нули:

• числитель: \(x=1\), \(x=5\) — закрашены;
• знаменатель: \(x=-3\) — выколот.

Пробные точки:

\[ x=-4:\quad \frac{(-4-1)(-4-5)}{-4+3}=\frac{(-5)(-9)}{-1}<0 \]

\[ x=0:\quad \frac{(0-1)(0-5)}{0+3}=\frac{(-1)(-5)}{3}>0 \]

\[ x=2:\quad \frac{(2-1)(2-5)}{2+3}=\frac{1\cdot(-3)}{5}<0 \]

\[ x=6:\quad \frac{(6-1)(6-5)}{6+3}=\frac{5\cdot1}{9}>0 \]

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-3) & (-3;1) & (1;5) & (5;+\infty)\\ \hline \text{знак дроби} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»; точки \(1\) и \(5\) включаем:

\[ \boxed{(-3;1]\cup[5;+\infty)} \]

---

4) \(\dfrac{x^2-16}{x-3}<0\)

Сначала разложим числитель:

\[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]

Получаем:

\[ \frac{(x-4)(x+4)}{x-3}<0. \]

Нули:

• числитель: \(x=-4\), \(x=4\);
• знаменатель: \(x=3\).

Неравенство строгое, все точки выколоты.

Пробные точки:

\[ x=-5:\quad \frac{(-5-4)(-5+4)}{-5-3}=\frac{(-9)(-1)}{-8}<0 \]

\[ x=0:\quad \frac{(0-4)(0+4)}{0-3}=\frac{(-4)\cdot4}{-3}>0 \]

\[ x=3{,}5:\quad \frac{(3{,}5-4)(3{,}5+4)}{3{,}5-3}=\frac{(-0{,}5)(7{,}5)}{0{,}5}<0 \]

\[ x=5:\quad \frac{(5-4)(5+4)}{5-3}=\frac{1\cdot9}{2}>0 \]

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4) & (-4;3) & (3;4) & (4;+\infty)\\ \hline \text{знак дроби} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(-\)»:

\[ \boxed{(-\infty;-4)\cup(3;4)} \]

---

5) \(\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}\ge0\)

Разложим числитель:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем:

\[ \frac{(x-2)(x-3)}{x+2}\ge0. \]

Нули:

• числитель: \(x=2\), \(x=3\) — закрашены;
• знаменатель: \(x=-2\) — выколот.

Пробные точки:

\[ x=-3:\quad \frac{(-3-2)(-3-3)}{-3+2}=\frac{(-5)(-6)}{-1}<0 \]

\[ x=0:\quad \frac{(0-2)(0-3)}{0+2}=\frac{(-2)(-3)}{2}>0 \]

\[ x=2{,}5:\quad \frac{(2{,}5-2)(2{,}5-3)}{2{,}5+2}=\frac{0{,}5\cdot(-0{,}5)}{4{,}5}<0 \]

\[ x=4:\quad \frac{(4-2)(4-3)}{4+2}=\frac{2\cdot1}{6}>0 \]

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-2) & (-2;2) & (2;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак дроби} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужен знак «\(+\)»; точки \(2\) и \(3\) включаем:

\[ \boxed{(-2;2]\cup[3;+\infty)} \]

---

Ответ

1. \((-5;2)\cup(3;+\infty)\)
2. \((-\infty;-4]\cup(-1;2]\)
3. \((-3;1]\cup[5;+\infty)\)
4. \((-\infty;-4)\cup(3;4)\)
5. \((-2;2]\cup[3;+\infty)\)

Частые ошибки: включать корень знаменателя в ответ; забывать разложить \(x^2-16\); ставить квадратную скобку при строгом неравенстве.