квадраттык функцияны чыгарып бере аласыңбы
Сверь числа и знаки с фото.
\(y = \frac{1}{3}x^{2} - 4x + 4\)
Сүрөттөгү жазууну мен \(y = \frac{1}{3}x^{2} - 4x + 4\) деп окудум. Ушул функцияны толук изилдеп берем (эгер белгилери башкача болсо, айт — ошого жараша кайра эсептейм).
Кыска жооп
- \(a = \frac{1}{3} > 0\) → параболанын бутактары өйдө карайт, функциянын эң кичине мааниси бар.
- Чокусу: \((6; -8)\), симметрия огу: \(x = 6\).
- Нөлдөрү: \(x = 6 \pm 2\sqrt{6}\) (болжол менен \(1{,}1\) жана \(10{,}9\)).
- \(y\) огун кескен жери: \((0; 4)\); ага симметриялуу точка: \((12; 4)\).
- Маанилер областы: \(y \in [-8; +\infty)\).
Кантип чыгарылат
1. Жалпы түргө салыштыруу. \(y = ax^{2} + bx + c\) менен салыштырсак: \[ a = \frac{1}{3}, \quad b = -4, \quad c = 4. \]
2. Чокунун абсциссасы. Формула: \[ x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6. \]
3. Чокунун ординатасы. \(x = 6\) ти коёбуз: \[ y_{0} = \frac{1}{3}\cdot 36 - 4\cdot 6 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8. \] Демек чоку \((6; -8)\), ал эми \(y_{\min} = -8\).
4. Чоку формасы (эң ыңгайлуу жол). Квадратты толуктап жазабыз: \[ y = \frac{1}{3}(x^{2} - 12x) + 4 = \frac{1}{3}(x-6)^{2} - 12 + 4 = \frac{1}{3}(x-6)^{2} - 8. \]
5. Нөлдөр. \(y = 0\): \[ \frac{1}{3}(x-6)^{2} - 8 = 0 \;\Rightarrow\; (x-6)^{2} = 24 \;\Rightarrow\; x = 6 \pm 2\sqrt{6}. \] Дискриминант менен текшерсек: \(D = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} > 0\) — эки тамыр бар, ошол эле жооп чыгат.
6. \(y\) огун кесиш. \(x = 0\): \(y = 4\), башкача айтканда \((0; 4)\). Симметрия огу \(x = 6\) болгондуктан, экинчи точка \((12; 4)\).
7. Касиеттери.
- Аныкталуу областы: \(x \in (-\infty; +\infty)\).
- \((-\infty; 6]\) аралыгында кемүүчү, \([6; +\infty)\) аралыгында өсүүчү.
- Маанилер областы: \([-8; +\infty)\).
Текшерүү
Чоку формасын ачып көрөлү: \[ \frac{1}{3}(x-6)^{2} - 8 = \frac{1}{3}x^{2} - 4x + 12 - 8 = \frac{1}{3}x^{2} - 4x + 4 \] — баштапкы функцияга дал келет. Тамырды текшерсек: \(x \approx 1{,}1\) үчүн \(y \approx 0{,}40 - 4{,}4 + 4 \approx 0\). Баары туура.
График үчүн: чокусу \((6; -8)\), \((0; 4)\) жана \((12; 4)\) точкалары аркылуу өткөн, \(x \approx 1{,}1\) жана \(x \approx 10{,}9\) жерлерде \(x\) огун кескен өйдө караган парабола.
Обсуждение
4 сообщенияБарабарсыздыкты чыгар
Сүрөттөгү барабарсыздык: \(x + 7 > 3x^{2} - 10\). Аны чыгарабыз.
Кыска жооп
\[ x \in \left(\frac{1-\sqrt{205}}{6};\ \frac{1+\sqrt{205}}{6}\right) \approx (-2{,}22;\ 2{,}55) \]
Чыгарылыш
1. Баарын бир жагына чыгарабыз (оң жагын сол жагына көчүрөбүз, белгилери өзгөрөт): \[ x + 7 - 3x^{2} + 10 > 0 \] \[ -3x^{2} + x + 17 > 0 \]
2. Белгини алмаштырабыз. Эки жагын \(-1\) ге көбөйткөндө барабарсыздык белгиси тескери бурулат: \[ 3x^{2} - x - 17 < 0 \]
3. Тиешелүү теңдеменин тамырларын табабыз: \[ 3x^{2} - x - 17 = 0 \] \[ D = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-17) = 1 + 204 = 205 > 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{205}}{6} \]
Болжол менен: \(\sqrt{205} \approx 14{,}32\), ошондуктан \[ x_{1} = \frac{1 - 14{,}32}{6} \approx -2{,}22, \qquad x_{2} = \frac{1 + 14{,}32}{6} \approx 2{,}55. \]
4. Белгини аныктайбыз. \(x^{2}\) нын алдындагы коэффициент \(a = 3 > 0\), демек параболанын бутактары өйдө карайт. Анда үч мүчө тамырлардын ортосунда терс, сыртында оң болот.
Бизге \(< 0\) керек, ошондуктан тамырлардын ортосундагы аралыкты алабыз (тамырлардын өзү кирбейт, анткени белги катуу «<»): \[ x \in \left(\frac{1-\sqrt{205}}{6};\ \frac{1+\sqrt{205}}{6}\right). \]
Текшерүү
- \(x = 0\): сол жак \(0 + 7 = 7\), оң жак \(0 - 10 = -10\). \(7 > -10\) — туура, \(0\) интервалдын ичинде. ✓
- \(x = 3\): сол жак \(10\), оң жак \(27 - 10 = 17\). \(10 > 17\) — туура эмес, \(3\) интервалдан тышта. ✓
- \(x = -3\): сол жак \(4\), оң жак \(27 - 10 = 17\). \(4 > 17\) — туура эмес, \(-3\) да тышта. ✓
Жооп: \(\left(\dfrac{1-\sqrt{205}}{6};\ \dfrac{1+\sqrt{205}}{6}\right)\), болжол менен \((-2{,}22;\ 2{,}55)\).
Теңдемени чыгар
Сүрөттөгү теңдемени \(x^6 - 9x^2 + 2 = 0\) деп окудум. Бирок бул \(t=x^2\) алмаштыруусунда \(t^3-9t+2=0\) кубдук теңдемесине келет жана мектептик стандарттуу ыкма менен так чыгарылбайт. Сыягы, жазууда ката бар: экинчи мүчө \(9x^3\) же биринчи даража \(4\) болушу мүмкүн. Эң ыктымалдуу \(x^6 - 9x^3 + 2 = 0\) деп алып чыгардым.
Кыска жооп
\[ x = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{73}}{2}} \quad \text{жана} \quad x = \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{73}}{2}}. \]
Болжол менен \(x \approx 2{,}06\) жана \(x \approx 0{,}61\).
Чыгарылыш
1. Алмаштыруу. \(t = x^3\) деп белгилейбиз. Анда \(x^6 = t^2\) болот:
\[ t^2 - 9t + 2 = 0. \]
2. Дискриминант.
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 - 8 = 73. \]
3. Тамырлар.
\[ t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{73}}{2}. \]
\(\sqrt{73} \approx 8{,}54\), ошондуктан \(t_1 \approx 8{,}77\), \(t_2 \approx 0{,}23\). Экөө тең оң.
4. \(x\) ти табуу. \(x = \sqrt[3]{t}\):
\[ x_1 = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{73}}{2}}, \qquad x_2 = \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{73}}{2}}. \]
Куб тамыр ар бир сан үчүн бир гана маани берет, ошондуктан \(\pm\) коюлбайт.
Текшерүү
\(t_1\) үчүн \(t_1^2 - 9t_1 + 2 = 0\) аткарылат, демек \(x_1^6 - 9x_1^3 + 2 = 0\). \(t_2\) үчүн да ушундай.
Эскертүү
Эгер сүрөттө \(x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) деп турса, анда \(t = x^2\) алмаштыруусу менен:
\[ x = \pm\sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{73}}{2}}. \]
Ал эми так \(x^6 - 9x^2 + 2 = 0\) болсо, анда бул кубдук теңдемеге келет жана мектептик ыкмага келбейт. Кайсынысы туура экенин тактап айтсаң, ошого жараша кайра чечип берем.
