136. а) cos x = √2/2; б) cos x = -1/2; в) cos x = √3/2; г) cos x = -1.
Реши 136
Сверь числа и знаки с фото.
Решите уравнения (136—143).
- а) \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\); б) \(\cos x=-\frac{1}{2}\); в) \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\); г) \(\cos x=-1\).
Краткий ответ
- а) \(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\);
б) \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\);
в) \(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\);
г) \(x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\), то есть \(x=(2k+1)\pi\).
Как это получается
На единичной окружности \(\cos x\) — это горизонтальная координата точки. Поэтому уравнение \(\cos x=a\) имеет две симметричные серии решений:
\[ x=\pm\arccos a+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]
Главное — правильно найти \(\arccos a\): это угол от \(0\) до \(\pi\), косинус которого равен \(a\).
- а) \(\arccos\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\pi}{4}\).
- б) \(\arccos\left(-\dfrac12\right)=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\). Для отрицательного косинуса угол тупой — это частая ошибка.
- в) \(\arccos\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{6}\).
- г) \(\arccos(-1)=\pi\), поэтому \(x=\pm\pi+2\pi k\). Но \(-\pi\) и \(\pi\) — одна и та же точка окружности, значит, остаётся одна серия: \(x=\pi+2\pi k\).
Проверка
\[ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\pi=-1. \]
Прибавление \(2\pi k\) учитывает все полные обороты вокруг окружности.
Обсуждение
2 сообщенияРеши в
Ответ для пункта в)
\[ \cos x=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \ k\in\mathbb Z. \]
Ключевые шаги
На единичной окружности \(\cos x\) — это абсцисса точки. Нужны точки, у которых \(x\)-координата равна \(\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87\), то есть почти у правого края окружности.
Таких точек две — сверху и снизу от оси \(Ox\): углы \(\dfrac{\pi}{6}\) (\(30^\circ\)) и \(-\dfrac{\pi}{6}\).
Проверяем табличное значение:
\[ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Значит, решения — это обе точки плюс любое число полных оборотов:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k. \]
Коротко это записывают одной формулой со знаком \(\pm\).
Почему не \(\frac{11\pi}{6}\) отдельно
Угол \(\dfrac{11\pi}{6}\) — та же нижняя точка, что и \(-\dfrac{\pi}{6}\): они отличаются на \(2\pi\). Поэтому это не новое решение, а та же серия. Важно не путать с уравнением \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) — там ответ \(\dfrac{\pi}{3}\) и \(\dfrac{2\pi}{3}\), потому что синус — это ордината, а не абсцисса.
