144. а) sin(−x/3) = √2/2; б) tg(−4x) = 1/√3; в) cos(−2x) = −√3/2; г) ctg(−x/2) = 1

Краткий ответ. При \(k\in\mathbb Z\):

\[ \text{а) }x=(-1)^{k+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\qquad \text{б) }x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4}, \]

\[ \text{в) }x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi k,\qquad \text{г) }x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Как это получается

Сначала убираем минус внутри функции, используя нечётность синуса, тангенса, котангенса и чётность косинуса, затем применяем общие формулы решений.

а) Синус нечётный:

\[ \sin\left(-\frac{x}{3}\right)=-\sin\frac{x}{3} \quad\Rightarrow\quad \sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Значит,

\[ \frac{x}{3}=(-1)^k\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\pi k, \]

откуда

\[ x=(-1)^{k+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi k. \]

б) Тангенс нечётный:

\[ -\mathrm{tg}\,4x=\frac1{\sqrt3} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}\,4x=-\frac1{\sqrt3}. \]

Тангенс имеет период \(\pi\), поэтому

\[ 4x=-\frac{\pi}{6}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4}. \]

в) Косинус чётный:

\[ \cos(-2x)=\cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Отсюда

\[ 2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi k. \]

г) Котангенс нечётный:

\[ -\mathrm{ctg}\,\frac{x}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{ctg}\,\frac{x}{2}=-1. \]

Котангенс имеет период \(\pi\), значит

\[ \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

В пунктах б) и г) найденные значения не попадают в запрещённые точки области определения, поэтому ограничения не отбрасывают решения.

Проверка при \(k=0\):

• а) \(x=-\frac{3\pi}{4}\): \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\);
• б) \(x=-\frac{\pi}{24}\): \(\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{6}=\frac1{\sqrt3}\);
• в) \(x=\frac{5\pi}{12}\): \(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\);
• г) \(x=-\frac{\pi}{2}\): \(\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{4}=1\).

Всё сходится.