Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители. Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3, поэтому

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный). Для \(ax^2+bx+c=0\):

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 3. По теореме Виета. Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\): сумма корней равна \(-p=5\), произведение равно \(q=6\). Подходят 2 и 3.

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят — ответ верный.

Главный принцип: если квадратный трёхчлен удаётся разложить на множители, корни находятся сразу; если нет — работает дискриминант, и знак \(D\) сразу говорит, сколько корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней.