Выполни 5.8 с решением
Сверь числа и знаки с фото.
Найдите значения выражений (5.7—5.11): 5.8. 1) \(\sqrt[4]{625 \cdot 81}\); 2) \(\sqrt[4]{243 \cdot 32}\); 3) \(\sqrt[3]{8 \cdot 27}\); 4) \(\sqrt[4]{0{,}0001 \cdot 81}\).
Кратко: 1) \(15\); 2) \(6\sqrt[4]{6}\); 3) \(6\); 4) \(0{,}3\).
Общий принцип: для неотрицательных \(a\) и \(b\) верно \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\), а \(\sqrt[n]{a^n}=a\). Поэтому подкоренное произведение удобно представлять степенями.
Решение:
\(625=5^4\), \(81=3^4\), поэтому \[ \sqrt[4]{625\cdot81}=\sqrt[4]{5^4\cdot3^4}=\sqrt[4]{(5\cdot3)^4}=15. \]
\(243=3^5\), \(32=2^5\), поэтому \[ \sqrt[4]{243\cdot32}=\sqrt[4]{3^5\cdot2^5}=\sqrt[4]{(3\cdot2)^5}=\sqrt[4]{6^5}=6\sqrt[4]{6}. \] Здесь \(6^5=6^4\cdot6\), поэтому из-под корня выносится \(6\).
\(8=2^3\), \(27=3^3\), поэтому \[ \sqrt[3]{8\cdot27}=\sqrt[3]{2^3\cdot3^3}=2\cdot3=6. \]
\(0{,}0001=0{,}1^4\), \(81=3^4\), поэтому \[ \sqrt[4]{0{,}0001\cdot81}=\sqrt[4]{0{,}1^4\cdot3^4}=0{,}1\cdot3=0{,}3. \]
Проверка: \(15^4=625\cdot81\), \(6^3=8\cdot27\), \(0{,}3^4=0{,}0001\cdot81\), а \((6\sqrt[4]{6})^4=6^5=243\cdot32\).
