Сделай 3.1
Сверь числа и знаки с фото.
3.1. Напишите первые пять членов последовательности:
- \(x_n=2n-1\); 2) \(x_n=n^2+1\); 3) \(x_n=\frac{1}{n+1}\); 4) \(y_n=(-1)^n\);
- \(y_n=2^{n-3}\); 6) \(a_n=0,5\cdot4^n\); 7) \(b_n=\frac{2n-1}{2n+1}\); 8) \(c_n=\frac{1}{2^n}\).
Краткий ответ
| № | Формула | Первые пять членов |
|---|---|---|
| 1 | \(x_n=2n-1\) | \(1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9\) |
| 2 | \(x_n=n^2+1\) | \(2;\ 5;\ 10;\ 17;\ 26\) |
| 3 | \(x_n=\frac{1}{n+1}\) | \(\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6}\) |
| 4 | \(y_n=(-1)^n\) | \(-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ -1\) |
| 5 | \(y_n=2^{n-3}\) | \(\frac{1}{4};\ \frac{1}{2};\ 1;\ 2;\ 4\) |
| 6 | \(a_n=0{,}5\cdot4^n\) | \(2;\ 8;\ 32;\ 128;\ 512\) |
| 7 | \(b_n=\frac{2n-1}{2n+1}\) | \(\frac{1}{3};\ \frac{3}{5};\ \frac{5}{7};\ \frac{7}{9};\ \frac{9}{11}\) |
| 8 | \(c_n=\frac{1}{2^n}\) | \(\frac{1}{2};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{8};\ \frac{1}{16};\ \frac{1}{32}\) |
Как это получается
Номер члена \(n\) — это номер его места в последовательности. Поэтому первые пять членов получаются подстановкой:
\[ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5. \]
Например:
- в 3) при \(n=4\):
\[ x_4=\frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}; \] - в 5) при \(n=1\):
\[ y_1=2^{1-3}=2^{-2}=\frac{1}{4}; \] - в 4) \((-1)^n\) даёт \(-1\) при нечётном \(n\) и \(1\) при чётном.
В 6) удобно заметить, что \(0{,}5=\frac{1}{2}\), поэтому
\[
a_n=\frac{4^n}{2}.
\]
Проверка: последние значения в таблице должны получаться при \(n=5\), например \(c_5=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}\).
Обсуждение
5 сообщенийНе так
Понял, значит я взял не то условие. Пришли, пожалуйста, само задание 3.1 — фото страницы или текст: какие даны последовательности и что именно требуется найти. Пересчитаю по твоему условию.
Вот так должно быть
Понял: в задании 3.1 на доске только два пункта — мои пункты 1) и 2) из первого ответа как раз совпали, а остальные шесть я добавил зря.
Ответ (как на доске)
1) \(x_n = 2n-1\)
\[ x_1=1,\quad x_2=3,\quad x_3=5,\quad x_4=7,\quad x_5=9 \]
2) \(x_n = n^2+1\)
\[ x_1=2,\quad x_2=5,\quad x_3=10,\quad x_4=17,\quad x_5=26 \]
Как считать
Номер члена \(n\) — это номер его места, поэтому подставляем \(n=1,2,3,4,5\) в формулу.
1) \(x_n=2n-1\):
- \(x_1=2\cdot1-1=1\)
- \(x_2=2\cdot2-1=3\)
- \(x_3=2\cdot3-1=5\)
- \(x_4=2\cdot4-1=7\)
- \(x_5=2\cdot5-1=9\)
Здесь каждый следующий член больше предыдущего на 2 — это арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
2) \(x_n=n^2+1\):
- \(x_1=1^2+1=2\)
- \(x_2=2^2+1=5\)
- \(x_3=3^2+1=10\)
- \(x_4=4^2+1=17\)
- \(x_5=5^2+1=26\)
Проверка: разности соседних членов \(3;5;7;9\) растут на 2 — так и должно быть у квадратичной формулы \(n^2+1\).
